 |
Распределение Максвелла по абсолютным значениям скорости.
|
|
|
|
Разбиение вероятности 
на произведение вероятностей 
позволяет найти распределение молекул газа по абсолютным значениям скоростей. Пусть система состоит из большого числа невзаимодействующих молекул. Кинетическая энергия системы 
, где 
- кинетическая энергия молекулы. Соответствующий фазовый объем равен
Поскольку все частицы одинаковы и каждую из них можно рассматривать, как независимую подсистему, то вероятность имеет вид произведения
, (2. 14)
где 
- пропорциональна распределению вероятностей по абсолютным значениям скоростей каждой отдельной молекулы:
(2. 15)
Элемент объема 
. Итак, функция распределения вероятностей по кинетическим энергиям для одной молекулы имеет вид
(2. 16)
Вероятность молекулы иметь кинетическую энергию от K1 до K1 + dK1, обладая при этом определенными проекциями импульсов, равна
(2. 17)
Аналогично, вероятность молекулы иметь кинетическую энергию от K1 до K1 + dK1, обладая при этом определенными проекциями скорости, равна
(2. 18)
Фазовый объем, соответствующий кинетической энергии, лежащей в диапазоне от K1 до K1 + dK1 при всех возможных импульсах или скоростях, определяется шаровым слоем 
или 
. Вероятность иметь кинетическую энергию от K1 до K1 + dK1 при всех возможных импульсах равна
(2. 19)
В пространстве скоростей
(2. 20)
Постоянную А найдем из условия нормировки 
.
Пользуясь табличным интегралом Пуассона - 
, получаем:
|
|
|
, (2. 21)
. (2. 22)
Формула (2. 22) дает вероятность того, что скорость молекулы лежит в диапазоне от v до v + dv, т. е. в шаровом слое пространства скоростей.
Свойства распределения Максвелла:
1) Плотность вероятности 
, имеет максимум при некоторой скорости v молекул. Из (2. 22) следует, что при малых скоростях вероятность растет пропорционально v2 из-за фазового объема, а далее с ростом скорости v функция резко убывает из-за экспоненциального множителя. Найдем наиболее вероятную скорость, т. е. скорость, при которой имеется максимум функции f(v). Так как 
, то, приравнивая нулю её производную, получаем 
| v |
| v+dv |
| v |
| vвер |
| r(v) º f(v) |
Рис. 2. 2. Распределение Максвелла по абсолютным значениям скорости.
Максимум получается при скорости, которая и называется наиболее вероятной скоростью
; (2. 23)
2) Полная площадь под кривой f(v) равна 1, поскольку она равна нормировочному интегралу. Интерпретация участка заштрихованной площади под кривой: площадь заштрихованной области равна вероятности того, что скорость молекулы в диапазоне от v до v + dv. Для вероятности получить скорость молекул в конечном интервале скоростей необходимо вычислить
; (2. 24)
3) Распределение вероятностей зависит от температуры. На рисунке 2. 3 представлено несколько кривых f(v) при разных температурах.
| T2 |
| T1 |
| v |
| f(v) |
| T3 |
| T1 < T2 < T3 |
Рис. 2. 3. Распределение Максвелла при разных температурах.
С ростом температуры диапазон скоростей все расширяется, а наиболее вероятная скорость сдвигается в область больших скоростей ( 
), при этом наиболее вероятной скоростью обладают все меньшее число молекул(максимум становится меньше).
|
|
|
Характерные средние скорости:
1) Средняя скорость. По определению
. (2. 25)
Произведем замену переменных: 
и 
.
.
; (2. 26)
2) Средняя квадратичная скорость. По определению, среднее значение квадрата скорости
(2. 27)
В нашем случае 
,
(2. 28)
И средняя квадратичная скорость равна
. (2. 29)
Отсюда можно получить среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на молекулу:
(2. 30)
| vср. кв. р |
| vсрр |
| vвер |
| v |
| r(v) |
Рис. 2. 4. Характерные скорости распределения Максвелла.
На графике функции распределения 
все характерные скорости расположены следующим образом:
.
Из Рис. 2. 4. видно, что максимум функции распределения довольно широк. Это отражает большой разброс в абсолютных значениях скоростей молекулы, т. е. большие флуктуации её скорости. Одна молекула - подсистема, которая содержит малое число частиц, поэтому флуктуации велики;
3) Для подсистемы с N частицами её полная кинетическая энергия
Из этих N частиц доля молекул, имеющих скорости от от v до v + dv, в силу независимости будет равна
(2. 31)
Эта вероятность имеет очень резкий максимум как функция скорости v, при этом функция распределения по скоростям в системе 
. При больших скоростях эта вероятность быстро спадает 
, а при малых ведет себя как 
, таким образом в распределении получаем резкий максимум.
| 1 частица |
| N частиц |
| v |
|
Рис. 2. 5. Распределение Максвелла для N частиц.
|
|
|
