Распределение Максвелла по проекциям скорости.
Распределение Максвелла по проекциям скорости. Когда проводится экспериментальная проверка распределения Максвелла, то регистрируются молекулы, летящие в одну сторону. Чтобы получить функцию распределения молекул по проекциям скорости перепишем распределение Максвелла в виде
Эту вероятность можно представить в виде произведения
Легко увидеть, что плотность вероятности Если рассматривать фазовый объем в распределении по проекциям скорости, то этот фазовый объем постоянен для всех значений vx, и равен dvx. Следовательно, вероятность больше там, где больше плотность частиц.
Вычислим среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы, т. е. сосчитаем Так как
Итак, кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна “половинке” kT, причем
§2. 3. Распределение Больцмана и его свойства. В начале настоящей главы мы писали для классической подсистемы
Так как
Эта формула носит название распределения Больцмана. Если отсчет вести от точки, где
Примеры использования распределения Больцмана: 1) Распределение частиц в сосуде по высоте в однородном поле тяжести (
![]()
Получаем
![]()
Здесь m - молярная масса газа, R - универсальная газовая постоянная. Воспользовавшись связью между концентрацией и давлением, получаем барометрическую формулу Больцмана
Концентрация частиц убывает с высотой, причем концентрация более тяжелых частиц убывает с высотой быстрее. Это создает подъемную силу для более легких объектов (воздушные шары). Для более высоких температур распределение с высотой становится более равномерным. При этом полное число частиц сосуде N постоянно и равно 2) Распределение частиц во вращающемся сосуде. Имеем сосуд длины L, который вращается с угловой скоростью w вокруг одного из его оснований. Сила инерции, действующая на молекулу, находящуюся на расстоянии r от основания, равна 3) Средняя энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы. Распределение Максвелла-Больцмана (Гиббса) позволяет получить среднюю энергию, приходящуюся на колебательную степень свободы. Этим мы подтвердим теорему о равнораспределении энергии по степеням свободы и получим теплоемкость твердых тел при высоких температурах T (для которых применимо классическое описание). Равновесное состояние кристалла - периодическое расположение атомов в пространстве. Однако, атомы не находятся в покое, а совершают малые тепловые колебания относительно положений равновесия. Пусть колебания совершаются вдоль оси 0x, тогда энергия такого осциллятора равна:
где m масса атома,
Во избежание путаницы здесь и далее вместо kT в знаменателе стоит T. Нормировочная постоянная A состоит из произведения двух постоянных (А = А1А2 ), которые равны соответственно:
Найдем стандартным образом среднюю энергию тела, колеблющегося вдоль оси x: Второй интеграл в первом слагаемом есть по сути нормировочный интеграл и равен (А2)-1. То же относится к первому интегралу во втором слагаемом, который равен (А1)-1. Другие интегралы равны:
Подставляя (2. 43) в выражение для средней энергии, получаем
Итак, на одну колебательную степень свободы приходится энергия, равная в общепринятых единицах kT. Из расчета видно, что kТ/2 возникла из-за усреднения кинетической энергии колебательного движения, а kТ/2 - из-за потенциальной энергии колебательного движения. Здесь мы доказали теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Согласно этой теореме на каждую колебательную степень свободы приходится энергия, равная kТ.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|