 |
Глава 2. Распределение Гиббса.
|
|
|
|
Глава 2. Распределение Гиббса.
§2. 1. Канонический ансамбль. Распределение Гиббса.
Канонический ансамбль – это совокупность незамкнутых систем. Каждая из этих систем является частью большой замкнутой системы.
Найдем функцию распределения систем канонического ансамбля по энергиям
. (2. 1)
Эта функция была введена для некоторого макроскопического равновесного тела (подсистемы), помещенного в окружающую среду (резервуар) и составляющего с этой средой замкнутую систему. Взаимодействие такого тела с окружающей средой слабое и в полном балансе энергий им можно пренебречь. Полная энергия замкнутой системы равна
, (2. 2)
где E - энергия тела (подсистемы), E' - энергия резервуара.
|
|
Рис. 2. 1. Замкнутая система, состоящая из маленькой подсистемы и резервуара.
Пусть размер подсистемы (тела) значительно меньше размера системы, т. е. E' > > E. Для числа частиц в полной системе и подсистеме имеет место условие 
. Так как в макроскопических телах флуктуации энергии в состоянии равновесия малы, то можно считать, что энергия среды E' есть среднее значение энергии 
. В дальнейшем знак усреднения писать больше не будем, всегда подразумевая средние значения энергии для больших систем в равновесии.
Нас интересует вероятность 
такого состояния подсистемы, в котором тело находится в состоянии с энергией от E до E + dE, а окружающая среда - в равновесном макроскопическом состоянии со средней энергией E'. Это состояние среды можно описать фазовым объемом 
. Напомним, что 
, а статистический вес состояния равен 
. Фазовый объем пропорционален числу способов распределения энергии 
по окружающей среде. Так как тело и среда статистически независимы, то вероятность 
пропорциональна произведению фазового объема состояния тела 
и фазового объема макроскопического состояния окружающей среды
|
|
|
. (2. 3)
Фазовый объем макроскопического состояния среды можно выразить через энтропию окружающей среды - 
.
Подставляя последнее выражение в (2. 3), получаем:
(2. 4)
Учтем, что тело составляет малую часть системы, т. е. Е < < E0. Разложим энтропию среды S'(E0-E) в ряд в окрестности точки E0:
(2. 5)
и ограничимся первым порядком в разложении по энергии Е.
Обозначив
, (2. 6)
где k- постоянная Больцмана, T- абсолютная температура, получаем
. (2. 7)
Здесь Е - энергия изучаемого тела, зависящая от координат и скоростей составляющих его атомов или молекул. Постоянную А можно найти из условия нормировки 
. Из (2. 7) получаем
(2. 8)
Сравнивая выражение (2. 7) с 
, получаем плотность вероятности - функцию статистического распределения
(2. 9)
Это и есть распределение Гиббса. Формула (2. 9) дает распределение вероятностей различных микроскопически х состояний подсистемы, являющейся малой частью некоторой большой замкнутой системы.
§2. 2. Распределение Максвелла и его свойства.
В классической физике полная энергия всегда может быть разделена на кинетическую K и потенциальную U энергии
, (2. 10)
где K - функция скоростей, U - функция координат. Функция U, вообще говоря, состоит из потенциальной энергии взаимодействия атомов между собой и из потенциальной энергии во внешнем поле. При этом элемент фазового объема можно представить в виде произведения двух элементов
|
|
|
, (2. 11)
где 
элемент фазового объема в пространстве импульсов (скоростей), 
фазовый объем в пространстве координат. Тогда вероятность записывается
(2. 12)
Такое разбиение вероятности 
на два независимых сомножителя означает, что вероятность иметь определенные значения для кинетической энергии никак не влияет на вероятность иметь какие-то значения для потенциальной энергии. Поэтому вероятности 
и 
должны удовлетворять независимым условиям нормировки для определения постоянных a и b:
(2. 13)
Такое разбиение распределения по полным энергиям на два независимых распределения по кинетическим и потенциальным энергиям возможно лишь в классической физике . При квантовом рассмотрении вероятности различных значений координат и импульсов оказываются связанными друг с другом за счет соотношения неопределенностей.
|
|
|
