 |
Лекция 2: задачи математического и линейного программирования. Модели линейного программирования.
|
|
|
|
1. Понятие математического и линейного программирования
2. Модель линейного программирования.
Нередко экономические задачи имеют не единственное решение и требуется выбрать лучшее – оптимальное из них. Моделирование таких задач сводится к задачам математического программирования (ЗМП).
Математическое программирование – область математики, изучающая оптимизационные процессы посредством поиска экстремума функции при заданных ограничениях.
Сформулируем в общем виде ЗМП:
(2.1)
при условиях
(2.2)
(2.3)
где 
– целевая функция, условия (2.2) – специальные ограничения, условия (2.3) – общие ограничения ЗМП.
Точку 
, координаты которой удовлетворяют ограничениям (2.2) и (3.3), называют допустимым решением ЗМП.
Множество всех допустимых решений ЗМП называют допустимым множеством.
Допустимое решение 
, удовлетворяющее соотношению (2.1), называют оптимальным решением ЗМП.
Если в ЗМП целевая функция и функции 
, – линейные, то имеем общую задачу линейного программирования (ЗЛП):
(2.4)
(2.5)
(2.6)
В зависимости от вида специальных ограничений различают следующие ЗЛП:
- каноническая ЗЛП, включающая в качестве ограничений (2.5) только уравнения, т. е.
;
- стандартная ЗЛП, включающая в качестве ограничений (2.5) только неравенства, т. е.
Рассмотрим следующие примеры моделей, приводимых к ЗЛП.
Пример 1. Экономико-математическая модель задачи о планировании производства.
На заводе имеются запасы трех видов сырья: 
, 
и 
, из которого можно наладить производство двух видов товаров: 
и 
. Запасы сырья, норма его расхода на производство единицы товаров, а также прибыль от реализации единицы каждого товара приведены в таблице 2.1 (цифры условные).
|
|
|
Таблица 2.1
| Сырье Товары |
|
|
| Прибыль |
|
| ||||
| ||||
| Запасы |
Необходимо составить такой план производства товаров, при котором прибыль от их реализации будет максимальной.
Решение.
План производства зададим числами 
и 
, где 
– количество единиц товара 
, которое следует произвести 
. Неизвестные и должны удовлетворять условиям
или 
, (2.7)
(2.8)
Поясним смысл первого неравенства системы (2.7). В левой части записано количество сырья , которое расходуется на выпуск единиц товара и единиц товара . Это количество не должно превышать имеющегося запаса сырья , т. е. 126 единиц. Аналогичный смысл имеют второе и третье неравенства системы (2.7).
Прибыль, предприятия от реализации плана (, ) производства товаров, очевидно, составит
. (2.9)
В интересах предприятия максимизировать эту прибыль. Следовательно, чтобы составить план производства товаров, при котором прибыль от их реализации будет максимальной нужно решить стандартную ЗЛП: 
при условиях (2.7) и (2.8):
Пример 2. Экономико-математическая модель задачи о диете.
Имеются два вида продуктов: 
и 
. Содержание в 1 кг питательных веществ A, B и C, ежесуточные потребности организма V в них и стоимость S 1 кг продуктов приведены в таблице 2.2
Таблица 2.2
| Витамины Продукты | A | B | C | S |
|
| ||||
|
| ||||
| V |
Составить такую ежесуточную диету, которая обеспечивает необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на продукты.
Решение.
Пусть и – искомые количества продуктов и соответственно. Их стоимость составляет
Общее количество питательного вещества A в обоих видах продуктов равно 
. Оно должно быть не меньше 6 единиц: 
.
Аналогичные неравенства составим для питательных веществ B и C: 
и 
.
Очевидно, 
и 
.
Таким образом, получим следующую стандартную ЗЛП:
|
|
|
(2.10)
при условиях
(2.11)
|
|
|
