 |
«С загадом». Возможности математики
|
|
|
|
«С загадом»
23 января 1920 года в записке Г. М. Кржижановскому по поводу плана ГОЭЛРО В. И. Ленин писал: «У нас не хватает как раз спецов с размахом или „с загадом“». Простая эта мысль совсем не проста, если внимательней вглядеться в эпоху, когда она высказывалась. Тогда не было недостатка в чрезвычайно размашистых планах. Оно и понятно: в годы, когда производительные силы страны были крайне истощены, полет мысли почти не сдерживался, не контролировался экономической реальностью. В заметках об едином народнохозяйственном плане Ленин бичевал прожектерство, беспомощность, нереальность наших первых экономических программ. И, говоря о «спецах с размахом», Ленин имел в виду проведение в жизнь сложной, двустепенной системы планирования: эксплуатационного и строительного плана – как называл их Г. М. Кржижановский; текущего и перспективного планирования, как говорим мы сейчас. Для задач перспективного планирования, таких, как план ГОЭЛРО, и нужны были люди «с загадом». Люди, которые разработали бы методику составления реалистических перспективных планов. В экономической литературе 20‑ х годов можно найти много материалов, посвященных постановке этой задачи. Об одном из них, имеющем прямое отношение к теме, и пойдет сейчас речь.
В 1928 году в журнале «Плановое хозяйство» появилась большая статья Г. А. Фельдмана, которая касалась методов планирования народного хозяйства страны. Автор писал: «Нельзя себе представить несложного метода проектирования такого сложного аппарата, каким является народное хозяйство. С другой стороны, мы не знаем более совершенной формы анализа, чем математика. Мы убеждены, что более или менее совершенное планирование народного хозяйства может быть осуществлено лишь на основе четко, математически сформулированной теории… Непреодолимые пока стихийные факторы будут определять лишь выбор определенных вариантов, заранее заготовленных, как планы боевых кампаний».
|
|
|
Я читал эту работу в декабре 1966 года. В те дни в Москве собралась Первая всесоюзная конференция по применению математических методов в отраслевом планировании. Мне довелось там слушать доклад А. Г. Аганбегяна, где излагалась методика составления многовариантного плана, где эта давняя идея представала как реальнейшая практическая задача для вполне конкретных предприятий и даже целых отраслей народного хозяйства…
Что и говорить, фельдмановский «загад» оказался надежным, прочным. Только вот сроки реализации… Все‑ таки без малого сорок лет. Почему это?
Тут есть много обстоятельств, субъективных и объективных. Сначала – объективные.
Возможности математики
«Нельзя научно проектировать без соответствующего научного метода» – таков общий вывод статьи А. Г. Фельдмана. Какой же он – этот соответствующий метод? Математический? Прекрасно. Но поглядите в предметном каталоге раздел «математика»: интегральное и дифференциальное исчисление, теория функций действительного переменного, топология, аналитическая геометрия, тензорный анализ. Это лишь малая доля тех орудий, которыми уже владела математика к 1928 году. Что из них подойдет экономисту? И есть ли среди них то, что ему нужно?
Тут бывает по‑ разному. К примеру, когда Эйнштейн стал разрабатывать общую теорию относительности, оказалось, что у математиков уже готов язык для изложения его идей. Это было тензорное исчисление. Но вот когда Ньютон создавал свою механику, ему пришлось самому придумывать и математический аппарат – это было дифференцирование. Вся трудность математической экономии состояла как раз в том, что математика в двадцатые годы только подошла к уровню, на котором уже можно было переводить основные понятия и отношения экономической науки на язык цифр и формул. Математические методы, необходимые для этого, еще предстояло создать. Вряд ли можно было ожидать, что среди экономистов окажется Ньютон. Скорее это могло произойти по‑ другому и куда естественней: с экономическими проблемами должен был столкнуться крупный математик.
|
|
|
Так и случилось.
В 1938 году Институту математики и механики Ленинградского университета была предложена фанерным трестом задача о рациональной загрузке деревообрабатывающих станков. Эта задача была решена выдающимся советским математиком, ныне академиком, лауреатом Ленинской премии Л. В. Канторовичем. Чтоб решить ее, он создал особый математический метод, который сейчас носит название теории линейного программирования. Неважно, как это все сказалось на судьбе фанерного треста. Куда важней другое: теория Канторовича оказалась применимой для решения целого ряда самых разнообразных экономических задач: рационального раскроя тканей, экономного размещения станков в цехе, оптимальной организации перевозок пассажиров и грузов.
(Между прочим, когда мы садимся в такси, которое в СССР стало по‑ настоящему массовым видом транспорта, мы попадаем в область практического применения теории Канторовича. Это по его предложению несколько лет назад тарифы на такси были значительно снижены, и это привело не к снижению, а как раз к повышению доходности таксомоторных парков. )
Потом от этих частных задач Канторович перешел к разработке более общей проблемы: проблемы организации производства в целом, проблемы составления оптимального плана. Как известно, существуют разные способы организации: плохие, хорошие и один – самый лучший. Есть и разные – удачные либо малоудачные – варианты народнохозяйственного плана. Можно ли оценить их количественно, поставить им «отметки» и затем выбрать самый удачный в данных условиях, оптимальный образ действий? «Да, можно», – утверждает Канторович. Утверждение это покоится на очень солидных основаниях: он ведь разработал методы, с помощью которых эта задача и в самом деле может быть решена!
|
|
|
Что же это за методы? Почему «линейное» и почему «программирование»?
Один грузовик может перевезти три тонны груза, две трехтонки – шесть, десять – тридцать тонн, тысяча – три тысячи. Такую пропорциональную зависимость одного показателя от другого математики называют линейным законом. Это название очень точное, картинное: если построить график, где по вертикали отложено количество перевезенного груза, а по горизонтали число использованных автомобилей, то на рисунке получится прямая линия. Вот с такими линейными, пропорциональными зависимостями имеет дело теория Канторовича.
Конечно, далеко не все экономические связи имеют столь простой вид. Более того, можно заранее сказать, что в реальных экономических процессах чистых линейных связей почти не бывает. К примеру, автобаза, имеющая тысячу трехтонных автомобилей, никогда не сможет сразу «поднять» три тысячи тонн грузов. Тут скажутся поломки, недостаток запасных частей, текучесть рабочей силы. Причем, чем больше размеры автобазы, тем заметней будут эти осложнения. И все‑ таки от этого можно отвлечься, более того, можно приближенно считать линейными заведомо нелинейные связи и получить результаты, которые будут иметь громадную реальную ценность.
Тут нет ничего неожиданного. Разве второй закон механики насчет пропорциональности силы и ускорения не является грубым описанием реальности? Мы теперь совершенно точно знаем, что на самом деле связь тут более сложная, нелинейная, из‑ за того, что масса тел зависит от их скорости. И все‑ таки простых, линейных законов классической механики хватило, чтобы рассчитать траекторию спутника… Конечно, можно поинтересоваться и тем, почему, собственно, современные математики предпочитают линейные связи, линейные уравнения. Ответ простой. Они умеют с ними обращаться. Методы решения линейных уравнений настолько хорошо разработаны, что их можно запрограммировать и поручить электронной машине. В экономических задачах это особенно важно. Во‑ первых, потому, что для нахождения наилучшего решения нужно перебрать громадное число вариантов; во‑ вторых, потому, что экономические задачи нужно решать быстро.
|
|
|
Когда Кеплер открыл законы небесной механики, он говорил, что не особенно добивается их немедленного признания: ведь планетные орбиты не меняются в течение миллионов лет. Между тем экономическая реальность, в отличие от физической, меняется чрезвычайно быстро. Рост производства и кризис, рост народонаселения и усложнение техники – все это процессы, характеристики которых очень похожи на характеристики взрыва. Не зря ведь теперь получил хождение очень точный термин «взрыв народонаселения». Вот почему конкретные экономические задачи нужно решить, пока они еще описывают реальную ситуацию, пока они актуальны.
Как говорил в одном из своих выступлений академик Н. П. Федоренко, если в экономической системе информация циркулирует с запаздыванием; если рассылаются указания о том, как решать уже практически решенные вопросы, то в развитии экономики начинаются колебания. Поэтому именно электронные машины с их фантастическим быстродействием и являются идеальным средством для решения линейных экономических задач.
Все выглядит так, словно теория линейного программирования заранее приспосабливалась к появлению электронных машин, о которых в предвоенные годы, разумеется, не было и речи. Не правда ли, в развитии идей линейного программирования есть какая‑ то заданность, неизбежность, что ли?
Это ощущение не обманчиво. На самом деле все было еще неизбежней, еще предопределенней…
Примерно в то время, когда Канторович создавал свою теорию, точнее говоря – в 1938 году, в американском городке Принстоне, где размещается Институт высших исследований, произошла одна знаменательная беседа.
Беседовали Джон фон Нейман, профессор математики, родом из Будапешта, и Оскар Моргенштерн, экономист, профессор Венского университета. В мире должны были произойти невероятные и страшные события, чтоб уроженцы двух соседних дунайских столиц смогли встретиться лишь на другом краю земли. По Европе, захватывая одну страну за другой, распространялся фашизм…
Незадолго до своего отъезда из Австрии Моргенштерн прочитал статью фон Неймана, которая глубоко его заинтересовала. Статья эта была написана в 1928 году и содержала основы новой математической теории, которая теперь называется теорией стратегических игр. Оскар Моргенштерн первым увидел в этой работе не просто логическое построение математика, а важнейшее средство для решения задач, которыми он занимался уже много лет.
|
|
|
Оскар Моргенштерн окончил Венский университет и считается последователем известной австрийской школы экономистов.
Эта школа, чьи работы теперь имеют уже чисто исторический интерес, издавна тяготела к математическим методам исследования. Ее пример показывает, что «математическая экономия» не мода, не домыслы математиков, ищущих везде, где можно и где нельзя, область для приложения своих абстрактных схем, – что это естественный процесс, возникающий в ходе развития самой экономической науки. Этот важнейший факт заставляет отнестись к работам австрийских экономистов со вниманием, объективно проанализировать их слабые и сильные стороны…
Оскар Моргенштерн не получил законченного математического образования, но атмосфера научной школы, к которой он принадлежал, с самого начала самостоятельной работы привлекала его внимание к математике.
В 1928 году Моргенштерн опубликовал книгу об экономических прогнозах. Там проводилась мысль, что экономические предсказания, сделавшиеся достоянием гласности, сами становятся важнейшим фактором, определяющим развитие той отрасли, поведение которой они прогнозируют. Это очень похоже на стратегический план, который оказывает громадное влияние на ведение военных операций, независимо от того, удачен он или нет. Так им была установлена связь между стратегией и экономикой. (Как вы помните, об этом же писал в 1928 году Г. А. Фельдман, сравнивая народнохозяйственный план с планом боевой кампании. ) Теперь, быть может, читателю станет понятно то возбуждение, которое испытал Моргенштерн, читая статью Неймана о теории стратегических игр. Он увидел, что основы того математического аппарата, который он искал десять лет, уже существуют. Вполне естественно, что одним из первых принстонских знакомств Моргенштерна и было знакомство с Джоном фон Нейманом.
Между учеными с самого начала установилось редкое взаимопонимание. Сначала они, объединив свои усилия, решили написать статью для журнала «Экономист», потом Нейман предложил расширить эту статью и сделать небольшую монографию. Однако, как говорил Оскар Моргенштерн, «работа стала буквально распухать у нас под руками». Так, начавшись с проекта журнальной статьи, дело кончилось основополагающим трудом «Теория игр и экономическое поведение», который вышел в свет в 1944 году.
Есть такая игра: два человека одновременно кладут на стол по монетке; если обе монеты легли одними и теми же сторонами – орлами либо решками, – выигрывает один партнер; если монеты упали по‑ разному – одна орлом, другая решкой, – выигрывает второй.
Какой тут выбрать образ действий, какую предпочесть стратегию, если вы уговорились сыграть достаточно большое число туров?
Ваше главное преимущество состоит в неизвестности: противник заранее не знает, что вы сделаете. Но стоит выбрать определенный порядок действий: например, строго «через раз» класть орел и решку, как партнер через два‑ три хода раскроет ваш план игры – и тогда вы проиграли. Очевидно, самый надежный способ утаить свой следующий ход – это самому ничего о нем заранее не знать; выбирать его с помощью механизма случайности: бросать перед каждым туром жребий. Такой внешне бездумный образ действий обеспечит вам больший успех, чем самые хитроумные расчеты игры ход за ходом. И потому теория игр в большинстве случаев стремится не к тому, чтоб рассчитать каждый ход, а лишь к тому, чтоб выбрать для данной игры правильный механизм жребия.
Например, для нашей игры с двумя монетами теория рекомендует только жребий «пятьдесят на пятьдесят», который обеспечивает равные шансы выпадению орла и решки. В качестве такого орудия выбора может служить даже телефонный справочник: если взятый в книжке наугад телефонный номер оканчивается нечетной цифрой, то мы положим решку, а если четной – орла.
Так складывается стратегия игры, которая определяет не детали действий, а, как это и полагается стратегии, лишь их общее направление…
Но какое отношение имеет эта стратегическая схема к экономическим проблемам?
Магазину могут предложить на базе несколько партий товаров. Иногда это оказываются вещи сезонные, но невысокого качества; иногда несезонные, но пользующиеся спросом. Какое принимать решение? Всегда отказываться от товаров невысокого качества? Конечно нет. Лучше предложить покупателю некрасивую зимнюю шапку, чем не предлагать никакой. Всегда продавать вещи сезонные? Тоже позиция не очень реалистичная: наш покупатель привык покупать зимние вещи весной, а летние – осенью. Так что нужно, как в орлянке, принимать решения разнообразные: иногда отказываться от одних товаров, иногда – от других. Тогда возникает вопрос: какое же решение принять в данном, конкретном случае?
Вот майским утром директор магазина должен отправиться на базу, заранее не зная, что ему там предложат. Могут быть модные зимние шапки из нерпы, а могут быть не отличающиеся особым щегольством плащи.
Как быть? Бросить жребий. Тот единственный жребий, который рекомендует стратегия, разработанная математиком‑ экономистом.
Действуя таким образом, магазин очень быстро реализует свою продукцию…
Признаться, этот пример внушает нам величайшие опасения. Уж очень он схематичен (как, впрочем, и все другие примеры, которые нам под силу рассмотреть), а потому способен ввести кое‑ кого в заблуждение. Читатель может ведь подумать: «Бросить жребий – значит отдать дело на волю случайностей», – выходит, никакой науки тут нет, зато в однозначном директорском выборе (в этом самом «пятьдесят на пятьдесят» либо «один к двум») и скрыты усилия квалифицированнейших математиков нашего времени. Бросить жребий, единственно подходящий к данной ситуации, совсем не то же, что бездумно отдаться на волю случая…
Впрочем, позвольте еще пример, чуть более конкретный.
Рыболовный траулер имеет несколько тралов, с разным размером ячеек в расчете на ту или иную породу рыбы. Математик проанализировал работу рыболовного траулера и предложил оптимальную стратегию для заброса трала. Решение о забросе стали принимать по жребию, выбранному математиком. В результате улов рыбы увеличился на 20 процентов.
Как видите, теория стратегических игр, подобно линейному программированию, способна анализировать самые разнообразные экономические ситуации: и вопросы организации производства – как в случае с траулером, и вопросы снабжения либо сбыта – как в примере с магазином.
На первый взгляд кажется, что этим и ограничивается сходство обеих теорий. Ведь программирование – это сама строгость, это абсолютно аргументированный выбор одного‑ единственного варианта плана; между тем как теория игр – построение куда более свободное.
Такое впечатление обманчиво. Мне довелось разговаривать с профессором Моргенштерном во время Международного математического конгресса, который происходил в Москве летом 1966 года. Он тогда сказал следующее: «По‑ моему, самой важной стороной теории стратегических игр является ее „умеренность“. Заметьте: мы прибегаем к жребию в основном потому, что молчаливо полагаем, будто наш „противник“ не глупее нас самих. Далее, теория стратегических игр рассматривает всю ситуацию в целом и предлагает стратегии сразу для обеих сторон, участвующих в конфликте. Если обе стороны придерживаются рекомендованных теорией оптимальных стратегий, то довольно трудно называть их противниками, это скорее – партнеры.
Начинаясь с анализа антагонизма, теория заканчивается рассмотрением кооперации. И эта стратегия поведения вырабатывается теорией игр так же однозначно и строго, как выводит квантовая механика законы радиоактивного распада. Квантовая механика может оценить лишь вероятность распада данного атома, но стратегический процесс – цепную реакцию – она может рассчитать вполне однозначно».
Так что, как видите, нестрогость теории стратегических игр кажущаяся.
Столь же иллюзорно и мнение о чрезвычайной строгости теории линейного программирования. Определяя область приложения линейного программирования, Канторович писал в монографии 1939 года:
«Существуют два способа повышения эффективности работы цеха, предприятия и целой отрасли промышленности. Один путь – это различные улучшения в технике, то есть новые приспособления в отдельном станке, изменение технологического процесса, нахождение новых, лучших видов сырья. Другой путь, пока гораздо меньше используемый, – это улучшение в организации производства и планировании. Сюда относятся, например, такие вопросы, как распределение работ между отдельными станками или механизмами; правильное распределение заказов по предприятиям, правильное распределение различных видов сырья, топлива…»
Заметьте, здесь и речи нет об особенностях предприятий, между которыми собираются распределять заказы, о том, чем отличаются руководящие кадры одного предприятия от кадров другого, или о том, какова квалификация рабочих. Напротив, чтоб применить аппарат линейного программирования, нужно забыть на время о внутренней структуре предприятий, о том, что отличает их друг от друга; нужен ряд однородных объектов, что‑ то вроде атомов, с которыми имеют дело химики.
«Два атома водорода и атом кислорода составляют молекулу воды». Чтоб написать такую реакцию, нужно отвлечься от того, что каждый из этих атомов имеет собственное ядро, а ядро может состоять из протонов и нейтронов. Точно так же поступают в теории линейного программирования, и «атомами» здесь будут элементарные технологические процессы: работа станка, либо завода, либо даже целой отрасли промышленности.
Пожалуй, именно это качество и представляется важнейшей чертой теории линейного программирования. Предложенный этой теорией план свободен от мелочных указаний, регламентирующих внутреннюю структуру технологического процесса, стесняющих инициативу руководителей данного предприятия. И это сближает план, созданный на основе теории Канторовича, со стратегией, созданной на основе теории Неймана – Моргенштерна. Это сходство не случайно: уже после окончания войны было строго доказано, что метод линейного программирования и метод теории игр в целом ряде задач эквивалентны один другому!
Так сошлись в одну точку работы математиков, экономистов и конструкторов электронных машин. Это совпадение казалось бы почти мистическим, если не сделать простейшего предположения: системы линейного программирования и теории игр правильно описывают экономическую реальность. Они совпадают друг с другом потому, что истина, как известно, одна на всех.
Известный английский физик Джемс Джинс сказал однажды, что, когда рассматриваешь в историческом плане развитие науки, оно кажется таким же естественным и неодолимым, как распускание цветка…
Разумеется, современник событий видит не только это. Картина, которая открывается его взору, более сложна и не так гармонична…
Монография Л. В. Канторовича, где были изложены первые его результаты, вышла в свет в 1939 году и не привлекла к себе никакого внимания ни в СССР, ни за рубежом. Основная его работа по теории линейного программирования «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов», написанная в 1942 году, увидела свет лишь в 1959‑ м: лежала у рецензентов‑ экономистов. За это время метод Канторовича был независимо переоткрыт и развит американским математиком Джорджем Данцигом, а с 1951 года вошел в обращение и термин «линейное программирование». В своей монографии Дж. Данциг пишет: «Канторовича следует признать первым, кто обнаружил, что широкий класс важнейших производственных задач поддается четкой математической формулировке… Если бы первые работы Канторовича были в должной мере оценены в момент их первой публикации, то возможно, что в настоящее время линейное программирование подвинулось бы значительно дальше». Но это уже совсем другой разговор.
|
|
|
