Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционным многочленом Лагранжа называется многочлен

. (2.2)

Этот многочлен удовлетворяет условиям (2.1).

Интерполяционной формулой Лагранжа называется формула

. (2.3)

Если функция f (x) на отрезке [ x₀, x_n ] определена и имеет непрерывные производные до (n + 1) - го порядка включительно, то погрешность интерполяционной формулы в каждой точке этого отрезка оценивается неравенством

, (2.4)

где , .

Пример 1. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа Р (х), для которого Р (-1) = 12, Р (1) = - 3, Р (3) = 4.

Решение. В данном случае х₀ = - 1, х₁ = 1, х₂ = 3, у₀ = 12, у₁ = - 3, у₂ = 4. При n = 2 формула (2.2) принимает вид

Подставляя в эту формулу заданные значения, находим

Пример 2. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа Р (х) для функции, заданной таблицей

х
у			- 10	- 30

Решение. В данном случае х₀ = 0, х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3,

у₀ = 6, у₁ = 0, у₂ = -10, у₃ = -30.

При n = 3 формула (2.2) принимает вид

Подставляя в формулу заданные значения, находим

= (х - 1)(- х² + 5 х - 6) + 5(х - 1)(х² - 3 х) - 5(х - 1)(х² - 2 х) = (х - 1)(- х² – 6) =

= - х³ - 6 х + х² + 6 = - х³ + х² - 6 х + 6.

Пример 3. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа 2-го порядка для функции y = cos x на отрезке [0, p¤4], если заданы значения функции в трёх узлах интерполяции:

х		p ¤ 6	p ¤ 4
у = cos x

С помощью интерполяционной формулы вычислить приближённое значение cos и оценить погрешность результата вычислений.

Решение. В нашем случае х₀ = 0, х₁ = p ¤ 6, х₂ = p ¤ 4,

у₀ = 1, у₁ = , у₂ = .

Многочлен Лагранжа для трёх узлов интерполяции запишется так:

Подставляя в формулу заданные значения, находим

При х = » 0.2618 Р ₂()» 0.9636.

С помощью неравенства (2.4) оценим погрешность вычислений:

где R₃(x) = (x - x ₀) (x - x ₁) (x - x ₂) = x (x - p ¤ 6) (x - p ¤ 4),

R₃(p ¤ 12) = (p ¤ 12) (-p ¤ 12) (-p ¤ 6) = 2(p ¤ 12)³.

Так как y = cos x, = - sin x, = - cos x, = sin x, то

M₃ = ,

следовательно,

Таким образом, cos » 0.9636 ± 0.0042. Заметим, что это значение с шестью верными цифрами: cos = 0.965926.

Рис. 8. Графики функций y = cos x и y = Р ₂(х)

На рис. 8 представлены графики функций y = Р ₂(х) и y = cos x на отрезке [0, p ¤ 4], построенные в системе MathCAD.

Конечные разности

Рассмотрим значения функции y = f (x) в точках x₀, x₁, x₂,..., x_n:

y₀= f (x₀), y₁= f (x₁),..., y_n= f (x_n).

Выделим всевозможные пары соседних значений функции, в каждом случае вычтем предыдущее значение из последующего, получим разности:

y₁- y₀, y₂- y₁,..., y_n_-1- y_n.

Они называются конечными разностями первого порядка или просто первыми разностями и обозначаются:

Dy₀= y₁- y₀, Dy₁= y₂- y₁,..., Dy_n-1= y_n- y_n-1 (2.5)

или кратко: Dy_i = y_i₊₁- y_i (i = 0, 1,..., n-1).

Разностями второго порядка или вторыми разностями называют разности первых разностей и обозначают:

D²y₀= Dy₁- Dy₀,

D²y₁= Dy₂- Dy₁,

... (2.6)

D²y_n-1= Dy_n- Dy_n-1

или кратко: D²y_i = Dy_i₊₁- Dy_i (i = 0, 1,..., n -1).

Разностями третьего порядка или третьими разностями называют разности вторых разностей и обозначают:

D³y₀= D²y₁- D²y₀,

D³y₁= D²y₂- D²y₁,

... (2.7)

D³y_n-1= D²y_n- D²y_n-1

или кратко: D³y_i = D²y_i₊₁- D²y_i (i = 0, 1,..., n-1).

Аналогично определяются последующие разности.

Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции. Для разностей первого порядка это следует из определения. Для разностей второго порядка имеем

D²y_i= Dy_i+1- Dy_i = (y_i+2- y_i+1) - (y_i+1- y_i) = y_i+2- 2 y_i+1 + y_i.

Аналогично для разностей третьего порядка

D³y_i = D²y_i₊₁- D²y_i = (y_i₊₃- 2 y_i₊₂ + y_i₊₁) - (y_i₊₂- 2 y_i₊₁ + y_i) =

= y_i₊₃- 3 y_i₊₂ + 3 y_i₊₁ - y_i и т.д.

Таблица разностей различных порядков строится согласно схемы:

х	у	Dy	D²y	D³y	D⁴y	D⁵y
x₀	у₀	Dy₀
x₁	у₁	Dy₁	D²y₀	D³y₀
x₂	у₂	Dy₂	D²y₁	D³y₁	D⁴y₀	D⁵y₀
x₃	у₃	Dy₃	D²y₂	D³y₂	D⁴y₁	...
x₄	у₄	Dy₄	D²y₃	...	...
x₅	у₅	...	...
...	...

Каждое число этой таблицы (начиная с третьего столбца) является разностью двух смежных чисел столбца слева (из нижнего числа вычитается верхнее; разность записывается в следующем столбце между этими числами). Третий столбец содержит первые разности, четвёртый - вторые и т.д.

Для контроля вычислений при составлении таблицы разностей пользуются следующим утверждением: сумма чисел в каждом столбце разностей равна разности крайних чисел предыдущего столбца. Например,

Dy₀+ Dy₁+ Dy₂+... + Dy_n = (y₁- y₀) + (y₂- y₁) +... + (y_n+1- y_n) = y_n+1- y₀.

Обычно все разности в таблице записывают целыми числами или в единицах младшего разряда значений функции.

Заметим, что конечные разности n- го порядка от многочлена степени n постоянны, а конечные разности (n + 1) - го порядка равны нулю. Это свойство даёт простой способ составления таблиц. Непосредственно вычисляем значения многочлена для n + 1 значений аргумента и составляем таблицу, в которую входят разности до n- го порядка включительно. Далее, пользуясь тем, что разности n- го порядка постоянны, продолжаем столбец разностей (n - 1) - го порядка. Для получения новых чисел этого столбца складываем соответствующие разности (n - 1) - го порядка с разностями n- го порядка. Затем последовательно продолжаем столбцы разностей (n - 2) - го, (n - 3) - го порядков и т.д., пока не получим продолжение столбца y_i = f (x_i), т.е. значений многочлена.

Пример 4. Составить таблицу конечных разностей для следующих значений х и у = f (x): х₀ = - 2, х₁ = - 1, х₂ = 0, х₃ = 1, х₄ = 2,

у₀ = 4, у₁ = 1, у₂ = 0, у₃ = 1, у₄ = 4.

Решение. По формулам (2.5) найдём первые разности:

Dy₀= y₁- y₀ = 1 - 4 = - 3;

Dy₁= y₂- y₁ = 0 - 1 = - 1;

Dy₂= y₃- y₂ = 1 - 0 = 1;

Dy₃= y₄- y₃ = 4 - 1 = 3.

По формулам (2.6) получим вторые разности:

D²y₀= Dy₁- Dy₀ = - 1 + 3 = 2;

D²y₁= Dy₂- Dy₁ = 1 + 1 = 2;

D²y₂= Dy₃- Dy₂ = 3 - 1 = 2.

По формулам (2.7) найдём третьи разности:

D³y₀= D²y₁- D²y₀ = 2 - 2 = 0; D³y₁= D²y₂- D²y₁ = 2 - 2 = 0.

Конечная разность четвёртого порядка

D⁴y₀= D³y₁- D³y₀ = 0 - 0 = 0.

Полученные значения занесём в таблицу.

х	у	Dy	D²y	D³y	D⁴y
-2 -1		-3 -1
å
S

Две последние строки записаны для контроля вычислений: в строке å числа равны суммам чисел, стоящих в соответствующем столбце, в строке S - разности последнего и первого чисел соответствующего столбца. Совпадение этих чисел по диагонали означает, что вычисления проведены верно.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 Следующая ⇒