Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Интерполяционный многочлен Лагранжа




Интерполяционным многочленом Лагранжа называется многочлен

. (2.2)

Этот многочлен удовлетворяет условиям (2.1).

Интерполяционной формулой Лагранжа называется формула

. (2.3)

Если функция f (x) на отрезке [ x0, xn ] определена и имеет непрерывные производные до (n + 1) - го порядка включительно, то погрешность интерполяционной формулы в каждой точке этого отрезка оценивается неравенством

, (2.4)

где , .

Пример 1. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа Р (х), для которого Р (-1) = 12, Р (1) = - 3, Р (3) = 4.

Решение. В данном случае х0 = - 1, х1 = 1, х2 = 3, у0 = 12, у1 = - 3, у2 = 4. При n = 2 формула (2.2) принимает вид

.

Подставляя в эту формулу заданные значения, находим

Пример 2. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа Р (х) для функции, заданной таблицей

 

х        
у     - 10 - 30

 

Решение. В данном случае х0 = 0, х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3,

у0 = 6, у1 = 0, у2 = -10, у3 = -30.

При n = 3 формула (2.2) принимает вид

Подставляя в формулу заданные значения, находим

= (х - 1)(- х2 + 5 х - 6) + 5(х - 1)(х2 - 3 х) - 5(х - 1)(х2 - 2 х) = (х - 1)(- х2 – 6) =

 

= - х3 - 6 х + х2 + 6 = - х3 + х2 - 6 х + 6.

Пример 3. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа 2-го порядка для функции y = cos x на отрезке [0, p¤4], если заданы значения функции в трёх узлах интерполяции:

 

х   p ¤ 6 p ¤ 4
у = cos x  

С помощью интерполяционной формулы вычислить приближённое значение cos и оценить погрешность результата вычислений.

Решение. В нашем случае х0 = 0, х1 = p ¤ 6, х2 = p ¤ 4,

у0 = 1, у1 = , у2 = .

Многочлен Лагранжа для трёх узлов интерполяции запишется так:

.

Подставляя в формулу заданные значения, находим

При х = » 0.2618 Р 2()» 0.9636.

С помощью неравенства (2.4) оценим погрешность вычислений:

,

где R3(x) = (x - x 0) (x - x 1) (x - x 2) = x (x - p ¤ 6) (x - p ¤ 4),

R3(p ¤ 12) = (p ¤ 12) (-p ¤ 12) (-p ¤ 6) = 2(p ¤ 12)3.

Так как y = cos x, = - sin x, = - cos x, = sin x, то

M3 = ,

следовательно,

Таким образом, cos » 0.9636 ± 0.0042. Заметим, что это значение с шестью верными цифрами: cos = 0.965926.

 

Рис. 8. Графики функций y = cos x и y = Р 2(х)

 

 

На рис. 8 представлены графики функций y = Р 2(х) и y = cos x на отрезке [0, p ¤ 4], построенные в системе MathCAD.

 

Конечные разности

Рассмотрим значения функции y = f (x) в точках x0, x1, x2,..., xn:

y0 = f (x0), y1 = f (x1),..., yn = f (xn).

Выделим всевозможные пары соседних значений функции, в каждом случае вычтем предыдущее значение из последующего, получим разности:

y1 - y0, y2 - y1 ,..., yn -1 - yn.

Они называются конечными разностями первого порядка или просто первыми разностями и обозначаются:

Dy0 = y1 - y0, Dy1 = y2 - y1 ,..., Dyn-1 = yn - yn-1 (2.5)

или кратко: Dyi = yi +1 - yi (i = 0, 1,..., n-1).

Разностями второго порядка или вторыми разностями называют разности первых разностей и обозначают:

D2y0 = Dy1 - Dy0,

D2y1 = Dy2 - Dy1,

... (2.6)

D2yn-1 = Dyn - Dyn-1

или кратко: D2yi = Dyi+1 - Dyi (i = 0, 1,..., n -1).

Разностями третьего порядка или третьими разностями называют разности вторых разностей и обозначают:

D3y0 = D2y1 - D2y0,

D3y1 = D2y2 - D2y1,

... (2.7)

D3yn-1 = D2yn - D2yn-1

или кратко: D3yi = D2yi+1 - D2yi (i = 0, 1,..., n-1).

Аналогично определяются последующие разности.

Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции. Для разностей первого порядка это следует из определения. Для разностей второго порядка имеем

D2yi = Dyi+1 - Dyi = (yi+2 - yi+1 ) - (yi+1 - yi ) = yi+2 - 2 yi+1 + yi .

Аналогично для разностей третьего порядка

D3yi = D2yi+1 - D2yi = (yi+3 - 2 yi+2 + yi+1 ) - (yi+2 - 2 yi+1 + yi) =

= yi+3 - 3 yi+2 + 3 yi+1 - yi и т.д.

Таблица разностей различных порядков строится согласно схемы:

 

х у Dy D2y D3y D4y D5y
x0 у0 Dy0        
x1 у1 Dy1 D2y0 D3y0    
x2 у2 Dy2 D2y1 D3y1 D4y0 D5y0
x3 у3 Dy3 D2y2 D3y2 D4y1 ...
x4 у4 Dy4 D2y3 ... ...  
x5 у5 ... ...      
... ...          

 

 

Каждое число этой таблицы (начиная с третьего столбца) является разностью двух смежных чисел столбца слева (из нижнего числа вычитается верхнее; разность записывается в следующем столбце между этими числами). Третий столбец содержит первые разности, четвёртый - вторые и т.д.

Для контроля вычислений при составлении таблицы разностей пользуются следующим утверждением: сумма чисел в каждом столбце разностей равна разности крайних чисел предыдущего столбца. Например,

Dy0 + Dy1+ Dy2+... + Dyn = (y1 - y0) + (y2 - y1) +... + (yn+1 - yn) = yn+1 - y0.

Обычно все разности в таблице записывают целыми числами или в единицах младшего разряда значений функции.

Заметим, что конечные разности n- го порядка от многочлена степени n постоянны, а конечные разности (n + 1) - го порядка равны нулю. Это свойство даёт простой способ составления таблиц. Непосредственно вычисляем значения многочлена для n + 1 значений аргумента и составляем таблицу, в которую входят разности до n- го порядка включительно. Далее, пользуясь тем, что разности n- го порядка постоянны, продолжаем столбец разностей (n - 1) - го порядка. Для получения новых чисел этого столбца складываем соответствующие разности (n - 1) - го порядка с разностями n- го порядка. Затем последовательно продолжаем столбцы разностей (n - 2) - го, (n - 3) - го порядков и т.д., пока не получим продолжение столбца yi = f (xi), т.е. значений многочлена.

Пример 4. Составить таблицу конечных разностей для следующих значений х и у = f (x): х0 = - 2, х1 = - 1, х2 = 0, х3 = 1, х4 = 2,

у0 = 4, у1 = 1, у2 = 0, у3 = 1, у4 = 4.

Решение. По формулам (2.5) найдём первые разности:

Dy0 = y1 - y0 = 1 - 4 = - 3;

Dy1 = y2 - y1 = 0 - 1 = - 1;

Dy2 = y3 - y2 = 1 - 0 = 1;

Dy3 = y4 - y3 = 4 - 1 = 3.

По формулам (2.6) получим вторые разности:

D2y0 = Dy1 - Dy0 = - 1 + 3 = 2;

D2y1 = Dy2 - Dy1 = 1 + 1 = 2;

D2y2 = Dy3 - Dy2 = 3 - 1 = 2.

По формулам (2.7) найдём третьи разности:

D3y0 = D2y1 - D2y0 = 2 - 2 = 0; D3y1 = D2y2 - D2y1 = 2 - 2 = 0.

Конечная разность четвёртого порядка

D4y0 = D3y1 - D3y0 = 0 - 0 = 0.

Полученные значения занесём в таблицу.

 

х у Dy D2y D3y D4y
-2   -1                 -3   -1                        
å          
S          

Две последние строки записаны для контроля вычислений: в строке å числа равны суммам чисел, стоящих в соответствующем столбце, в строке S - разности последнего и первого чисел соответствующего столбца. Совпадение этих чисел по диагонали означает, что вычисления проведены верно.

 

Поделиться:





Читайте также:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...