 |
Интерполяционный многочлен Ньютона
|
|
|
|
Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен
Pn (x) = y0 + (x - x0) f (x0, x1) + (x - x0) (x - x1) f (x0, x1, x2) +...
... + (x - x0) (x - x1)... (x - xn-1) f (x0, x1,..., xn), (2.12)
в котором f (x0, x1), f (x0, x1, x2),..., f (x0, x1,..., xn) - разделённые разности различных порядков. Этот многочлен удовлетворяет условиям (2.1).
В силу единственности интерполяционного многочлена n -й степени интерполяционный многочлен Ньютона перегруппировкой членов можно преобразовать в интерполяционный многочлен Лагранжа и обратно.
Интерполяционной формулой Ньютона называется формула
f (x)» y0 + (x - x0) f (x0, x1) + (x - x0) (x - x1) f (x0, x1, x2) +...
... + (x - x0) (x - x1)... (x - xn-1) f (x0, x1,..., xn). (2.13)
В случае равноотстоящих узлов интерполяции
x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2 h,..., xn = x0 + nh
из формулы (2.13) с учётом равенств (2.11) получается первая интерполяционная формула Ньютона
... + 
. (2.14)
Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда значение 
мало по абсолютной величине. Первую интерполяционную формулу Ньютона называют по этой причине формулой для интерполирования вперёд. За начальное значение x0 можно принимать любое табличное значение аргумента x.
Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу Ньютона становится невыгодно. В этом случае применяется формула для интерполирования назад - вторая интерполяционная формула Ньютона
(2.15)
В формуле (2.14) коэффициенты многочлена содержат конечные разности различных порядков, принадлежащие верхней (нисходящей) строке таблицы разностей (см. таблицу на с.28). В формуле (2.15) коэффициенты многочлена содержат конечные разности различных порядков, принадлежащие нижней (восходящей) строке этой таблицы.
|
|
|
Погрешность интерполяционных формул Ньютона (2.14) и (2.15) оценивается неравенствами:
,
,
где 
, t = .
Пример 6. Найти интерполяционный многочлен Ньютона Р (х), для которого Р (1) = 0, Р (3) = 6, Р (6) = 18.
Решение. В данном случае х0 = 1, х1 = 3, х2 = 6,
у0 = 0, у1 = 6, у2 = 18.
Заметим, что узлы не являются равноотстоящими, т. к. x1 - x0 ¹ x2 - x1.
При n = 2 формула (2.12) принимает вид
P2 (x) = y0 + (x - x0) f (x0, x1) + (x - x0) (x - x1) f (x0, x1, x2).
Вычислим разделённые разности:
f (x0, x1) = 
,
f (x2, x1) = 
,
= 
.
Искомый интерполяционный многочлен Ньютона
P2 (x) = 3(x - 1) + 0.2(x - 1) (x - 3).
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим многочлен в каноническом виде:
P2 (x) = 0.2(x2 + 11 x - 12) = 0.2 x2 + 2.2 x - 2.4.
Пример 7. Найти интерполяционные многочлены Ньютона «интерполирования вперёд» и «интерполирования назад»для функции, заданной таблицей
| х | ||||
| у |
Найти значение функции при х = 0,5 и х = 2,5.
Решение. В данном случае х0 = 0, х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3,
у0 = 2, у1 = 1, у2 = 4, у3 = 10.
Узлы интерполяции являются равноотстоящими:
x1 - x0 = x2 - x1 = x3 - x2 = 1.
Составим таблицу конечных разностей.
| х | у | Dy | D2y | D3y |
| 2 | -1 | 4 | -1 |
Числа верхней (нисходящей) строки этой таблицы (подчёркнуты одной чертой) входят множителями в коэффициенты многочлена Ньютона для формулы «интерполирования вперёд».
При n = 3 правая часть формулы (2.14) принимает вид: 
(x) =
= 
.
Подставив в формулу условия задачи и указанные числа, получим
(x) = 2 + (- 
)(х - 0) + (
)(х - 0)(х - 1) + (- 
)(х - 0)(х - 1)(х - 2) =
= 2 - х + 2 х (х - 1) - 
х (х - 1)(х - 2).
Числа нижней (восходящей) строки этой таблицы (выделены жирным шрифтом) входят множителями в коэффициенты многочлена Ньютона для формулы «интерполирования назад».
При n = 3 правая часть формулы (2.15) принимает вид
(x) = 
.
Подставив в формулу условия задачи и указанные числа, получим
(x) = 10 + 6(х - 3) + 
(х - 3) (х - 2) - (х - 3) (х - 2) (х - 1).
|
|
|
Найденные многочлены (x) и (x) отличаются только формой. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим один и тот же многочлен в каноническом виде:
P3 (x) = - x3 + 
x2 - 
x + 2.
Значение функции при х = 0,5 найдём с помощью первого многочлена:
f (0,5) = (0,5) = 2 - 0,5 + 2× 0,5×(0,5 - 1) - × 0,5×(0,5 - 1)(0,5 - 2) =
= 1,5 - 0,5 - 
= 1 - = 
.
Значение функции при х = 2,5 найдём с помощью второго многочлена:
f (2,5) = (2,5) = 10 + 6(2,5 - 3) + (2,5 - 3)(2,5 - 2) - (2,5 - 3)(2,5 -
- 2)(2,5 - 1) = 10 - 3 - 
+ = 6 
.
Лабораторная работа № 1
|
|
|
