Физический и математический

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Институт высокоточных систем им. В.П. Грязева

Кафедра Приборы и биотехнические системы

 

 

Методические указания к выполнению лабораторных работ

Учебной дисциплины

«динамика электромеханических систем»

 

Уровень профессионального образования:

высшее образование - бакалавриат

Направление подготовки: 12.03.01 Приборостроение

Профиль подготовки: Бортовые приборы управления

Форма обучения: очная

 

Тула 2015

 

Методические указанияразработаны доцентом М.Б. Богдановым и обсуждены на заседании кафедры Приборы и биотехнические системы института высокоточных систем им. В.П. Грязева (протокол заседания кафедры №14 от «26» мая 2015 г.)

 

Разработчики методических указаний ____________________________.

^{личная подпись}

 

 

1. Гравитационные маятники:

физический и математический

1.Цель работы.

Изучение работы математического и физического маятников.

 

2. Основы теории.

Физические системы, в которых могут осуществляется колебательные процессы, называют колебательными системами. В технической литературе часто используется термин “ осциллятор ” – система, совершающая механические, электромагнитные или другие колебания. Свойства осцилляторов с одной степенью свободы (твердое тело на пружине, математический маятник, электрический колебательный контур и др.) будем изучать на примере гравитационного маятника.

Уравнения движения механических осцилляторов с одной степенью свободы получим с помощью метода кинетостатики (принципа Даламбера). Для этого следует записать уравнение равновесия между действующими на твердое тело внешними силами и силами инерции.

Рассмотрим движение гравитационных маятников (рис.1) в плоскости чертежа относительно осей подвеса. Будем считать, что в случае математического маятника (рис. 1.а) масса m сосредоточена в точке, массой жесткого стержня длиной l можно пренебречь, а в случае физического маятника (рис. 1.б) известен момент инерции маятника относительно центра масс (точка Ц.М.) – J_ЦМ.

а)	б)
Рис.1. Гравитационные маятники: а) математический; б) физический

 

При отклонении гравитационного маятника от вертикали на угол относительно оси подвеса (точка О) будет действовать момент восстанавливающей силы М_в, который стремится вернуть отклоненный маятник в положение равновесия:

, (1)

где g – ускорение свободного падения.

Если угол мал, то можно записать:

. (2)

В процессе движения маятника относительно оси подвеса будет так же действовать момент сил инерции М_и:

, (3)

где J – момент инерции маятника относительно оси подвеса (в случае математического маятника J=ml², а в случае физического маятника J=J_ЦМ+ml²); - угловое ускорение движения маятника.

Согласно принципу Даламбера, сумма всех моментов, действующих на маятник равна нулю:

, (4)

где М_с – момент сил сопротивления движению маятника; M(t) – момент внешних сил.

Если момент сил сопротивления движению пропорционален угловой скорости маятника, то имеется вязкое трение:

, (5)

где b – коэффициент демпфирования, т.е. момент сил сопротивления при ^рад/_с; - угловая скорость маятника.

Подставив в равенство (4) значения входящих в него моментов (2), (3) и (5) получим линейное дифференциальное уравнение движения гравитационного маятника для малых значений угла в виде:

. (6)

Поделив уравнение на коэффициент при старшей производной, получим:

, (7)

где ω₀ – круговая частота собственных незатухающих колебаний маятника;

. (8)

ξ – относительный коэффициент демпфирования колебаний маятника;

. (9)

m(t) – относительное возмущающее воздействие;

. (10)

Решение уравнения (7) имеет вид:

, (11)

где – амплитуда колебаний;

; (12)

- начальный угол отклонения маятника от вертикали; - начальная скорость колебаний; - фаза колебаний;

. (13)

- круговая частота затухающих колебаний;

. (14)

а)	б)
Рис.2. Колебания осциллятора а) без трения; б) при вязком трении

 

Из решения (11) видно, что при вязком трении колебания осциллятора будут затухать по экспоненциальному закону, как показано на рис.2 б).

Следует обратить внимание на то, что при вязком трении период колебаний больше периода незатухающих колебаний и зависит от коэффициента демпфирования.

Если положить момент сил сопротивления равным нулю, то уравнение движения примет вид:

. (15)

Решение этого уравнения имеет вид:

, (16)

где

; . (17)

Из решения (16) видно, что при отсутствии момента сил сопротивления колебания будут незатухающими (рис.2 а)).

В реальных системах всегда присутствует момент сил сухого трения (в опорах, в датчике угла и т.д.). Предположим, что в качестве момента сил сопротивления на маятник действует момент сил сухого трения , момент внешних сил отсутствует. Тогда уравнение движения маятника примет вид:

, (18)

где М_Т⁰ – модуль момента силы сухого трения.

Уравнение (18) в областях с постоянными значениями скорости соответствуют два уравнения:

при ; (19)

при (20)

Решение уравнения (19) при нулевых начальных условиях имеет вид:

. (21)

откуда следует, что маятник совершает гармонические колебания с круговой частотой ω₀ и амплитудой относительно положения равновесия, смещенного по оси на величину . Такое движение будет происходить до тех пор пока . Если , то маятник начнет обратное движение, описываемое уравнением (20). Решение этого уравнения при начальных условиях ; , где будет иметь вид:

. (22)

т.е. маятник совершает гармонические колебания с круговой частотой ω₀ и амплитудой относительно нового положения равновесия, смещенного по оси на величину . Следовательно, убывание амплитуды колебаний подчиняется закону арифметической прогрессии с разностью при этом амплитуда может быть определена по формуле:

. (23)

На рис.3 показан график колебаний осциллятора при наличии сухого трения. Параллельно оси времени проведены две прямые и . Верхняя прямая служит для нечетных полупериодов, а нижняя для четных полупериодов. Если какой-либо полупериод заканчивается в полосе между этими прямыми, то движение прекращается. Эта полоса называется зоной застоя.

Модуль момента сил сухого трения, действующий на маятник можно рассчитать по формуле:

, (24)

где n – число полупериодов колебаний до прекращения движения.

Следует обратить внимание на то, что период затухающих колебаний при сухом трении равен периоду незатухающих колебаний (колебаний без трения). В случае сухого трения колебания осциллятора прекращаются через конечный промежуток времени, а в случае вязкого трения - колебания затухают бесконечно.

Рис.3. График затухающих колебаний осциллятора при наличии

сухого трения

 

3. Объект исследования.

Объектом исследования является физический маятник с потенциометрическим и индукционным датчиками угла (рисунок 4).

Рис. 4. Внешний вид лабораторной установки

 

4.Последовательность проведения работы.

4.1. Измерение собственной частоты колебаний осциллятора.

4.1.1. Изучить теоретические основы.

4.1.2. Подключить индукционный датчик угла.

4.1.3. Измерив длину плеча маятника, вычислит собственную частоту колебаний маятника ω₀ (значение массы маятника m=0,095 кг).

4.1.4. Задать значение ξ = 0.1.

4.1.5. Отклонить маятник от положения равновесия на угол . По графику на экране осциллографа определить частоту затухающих колебаний маятника ω_1эксп.

4.1.6. Используя значение ω₀ и ξ рассчитать ω_1расч.

4.1.7. Изменяя демпфирование на, повторить пункты 4.1.5 и 4.1.6.

4.1.8. Повторить п. 4.1.3 … 4.1.7., изменив длину маятника.

4.1.9. Заполнить таблицу 1.

 

Таблица 1.

№	l, м	x	ω1 эксп	ω1 расч
…		…	…	…

 

4.1.10. Для различных длин l построить графики зависимостей ω_{1 эксп} (ξ) и ω_{1 расч} (ξ).

4.1.11. Сделать вывод по результатам проведенной работы.

 

4.2. Определение зоны застоя и момента трения, действующего на осциллятор.

4.2.1. Измерить длину маятника l (значение массы маятника m=0,095 кг).

4.2.2. Подключить потенциометрический датчик угла.

4.2.3. Задать ξ равным 0.

4.2.4. Отклонить маятник от положения равновесия на угол и произвести замеры следующих величин:

U₀ – напряжение, снимаемое с потенциометра в начальный момент времени (при отклонении маятника от положения равновесия на угол );

n – количество полупериодов до затухания;

U_i – напряжение, снимаемое с потенциометра, в точках максимальных амплитуд;

U_ост – напряжение, снимаемое с потенциометра при полной остановке движения маятника.

4.2.5. По точкам U_i построить огибающие затухания движения маятника.

4.2.6. Определить по формуле:

,

где k_пд – коэффициент передачи потенциометрического датчика угла.

4.2.7. По формуле (24) вычислить модуль момента трения М_т⁰, действующий относительно оси подвеса маятника вследствие сил сухого трения в потенциометрическом датчике и опорах оси подвеса.

4.2.8. По формуле (23) рассчитать угол отклонения маятника от вертикали (для измеренного в п. 4.2.4. n).

4.2.9. Повторить пункты 4.2.4. … 4.2.8., изменив длину маятника.

4.2.10. Заполнить таблицу 2.

 

Таблица 2.

№	l, м	, град.	, град	, град	n	Мт, кгм2
…	…	…	…	…	…	…

4.2.11. Сделать вывод по результатам проведенной работы.

 

5. Контрольные вопросы.

5.1. Как зависит период колебаний маятника от сил сопротивления (при вязком и при сухом трении)?

5.2. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний маятника при вязком и при сухом трении?

5.3. При каком типе сил сопротивления колебания маятника затухают за конечный промежуток времени, а при каком – затухают бесконечно долго (теоретически)?

 

6. Библиографический список.

6.1. Савельев В.В. Прикладная теория колебаний: Учебн. пособ. – Тула: ТулГУ. – Тула, 2005. – 160 с.

123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: