Классификация уравнений регрессии

Классификация уравнений регрессии

Уравнения регрессии
Л - Линейные	Н - Нелинейные
	Н1 - Нелинейные по переменным, линейные по параметрам	Н2 - Нелинейные по параметрам
		Н. 2. 1 -  внутренне линейные	Н. 2. 2 -  внутренне нелинейные

 

     Опишем классы нелинейных регрессий и приведем примеры моделей.

     Класс Н1: нелинейные относительно включенных в них переменных, но линейные по оцениваемым параметрам.

Примеры:

- полином второй степени: у = b_о+b₁x + b₂x² + e;

- полином третьей степени: у = b_о+ b₁x + b₂x² + b₃x³ + e;

- равносторонняя гипербола: у = b_о+ b₁ / x + e.

- полулогарифмическая функция: у = b_о+ b₁ lnx+ e;

Модели этого класса определяются как и линейные, с помощью МНК путем замены переменных. Например, в параболе второй степени заменим переменные: x = х₁, x²= х₂ и получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

у = b_о+ b₁x₁ + b₂x₂ + e.

Класс Н2: нелинейные по параметрам:

- степенная: у = b_о x^b1 e,

- показательная: у = b_о b₁^xe,

- экспоненциальная: у = е^{bо + b1х}e.

Этот класс делится  на два подкласса, которые мы и рассмотрим ниже.

Класс Н. 2. 1: нелинейные по параметрам модели, но внутренне линейные.

Примеры:

- степенная: у = b_о x^b1e,

- экспоненциальная: у = е^{b0 + b1х} e.

Модели этого класса после преобразования к линейному виду также решаются МНК. Например, прологарифмировав степенную фукцию, получим: lny = lnb_о + b₁ lnx+ lne. Заменим переменные: lny = z, lnb_о =b_о’; lnx = u, lne = e‘. Получаем линейное уравнение регрессии:

z = b_о’+ b₁u +e‘.

Класс Н. 2. 2: нелинейные модели - внутренне нелинейные.

Примеры:

- степенная: у = b_о x^b1 + e (отличие от рассмотренной выше функции в том, что возмущение здесь не мультипликативно, а аддитивно);

- гиперболическая: .

Для подобных моделей МНК может быть применен только в форме специальных поисковых процедур, т. к. аналитически соответствующая система уравнений не разрешается. Примеры таких процедур вычислительной математики: метод наискорейшего спуска Коши, модифицированный метод Ньютона, метод покоординатного спуска и пр.

 

4. 5. Функции эластичности

 

           Функции эластичности представляют большой экономический интерес при анализе явления на основе эконометрической модели. Для начала выведем несколько функций эластичности, а потом просто приведем их в табл. 4. 3. Напомним, что функция эластичности означает: на сколько процентов изменился  при изменении переменной х_i ровно на 1%.

Таблица 4. 3

Примеры функций эластичности

Функция регрессии	Производная регрессии	Функция эластичности
Линейная y =bo + b1x+ e	b1	E= b1x/(bo +  b1x)
Парабола второго порядка y =bo + b1x+ b2x2+ e	b1+ 2b2x	E=(b1+ 2b2x)x/(bo + b1x+ b2x2)
Гипербола y =bo + b1/x+ e	-b1/x2	E=-b1/(box+b1)

 

     По определению частной функцией эластичности Е_xi( ) множественной регрессии   =f(x₁, x₂, ... , x_р) является функция

.

Итак, функция эластичности имеет вид:

 

Еxi( ) =

(4. 3)

 

     Пример 4. 2.

Дано линейное уравнение регрессии =5+6x₁-2x₂, выборочные средние: =10, =20, =25. Найти частную функцию эластичности по переменной х₂.

     Решение.

По формуле (4. 3) искомая функция: Е_x2( ) = ¶ /¶x₂ × x₂/  = -2x₂/(5+6x₁-8x₂). Можно положить =10, и получим частную функцию эластичности Е(x₂)= -2x₂/(65-8x₂). Наконец, для =20 можно получить средний частный коэффициент эластичности  по x₂: =-0, 89%. Итак, в окрестности выборочных средних увеличение x₂ на 1% приводит к уменьшению  на 0, 89%.

     Пример 4. 3.

Дано парное уравнение регрессии со степенной функцией: =5× х^1/2. Найти функцию и средний коэффициент эластичности.

     Решение.

Е_x( )= = = 0, 5.

 Итак, функция эластичности для степенной функции есть константа.

 

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: