 |
Рис. 5.1. Типичная автокорреляционная функция временного ряда
|
|
|
|
Рис. 5. 1. Типичная автокорреляционная функция временного ряда
с циклической составляющей
Значения r(t=1), r(t=2), ... называются коэффициентами корреляции 1-го порядка, 2-го порядка и т. д. (рис. 5. 1).
Существует также частная автокорреляционная функция rчаст(t) и ее выборочный аналог rчаст(t). Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 2-го порядка между членами временного ряда yt и yt+2 при устранении влияния yt+1 вычисляется по формуле:
 ,
| (5. 6) |
где r(1), r(1, 2), r(2) - выборочные коэффициенты автокорреляции между yt и yt+1, yt+1 и yt+2, yt и yt+2.
Автокорреляционная функция дает представление о характере временного ряда и помогает подобрать наиболее подходящую функцию регрессии.
5. 3. Сглаживание временного ряда и прогнозирование
Одна из важнейших задач исследования временного ряда - выявление в нем основной тенденции, которая выражается неслучайной составляющей f(t). Последняя может быть трендом, либо трендом с циклической составляющей, либо трендом с циклической и сезонной составляющими - это зависит от цели исследования.
Выбор конкретной сглаживающей функции f(t) - сложная неформальная процедура. Для выбора используются по меньшей мере три типа информации.
Использование содержательной информации – семантический подход. Здесь строится качественная теория изучаемого процесса. Выдвигается гипотеза о причинах именно такого поведения процесса в прошлом и настоящем и о поведении в будущем. Например, при прогнозировании численности населения Калининградской области на период до 2020 г. мы имеем: устойчивый рост примерно до 1990 г., резкое сокращение примерно до 1998 г., постепенное уменьшение скорости сокращения до настоящего времени. Гипотеза: начавшийся подъем экономики, политическая стабилизация в течение нескольких лет остановят падение и начнется рост населения с постепенной стабилизацией на определенном уровне (по образцу западных стран).
|
|
|
Использование графической информации. Здесь временной ряд представляется в виде графика. Результаты наблюдения и содержательной теории о прошлом, настоящем и будущем процесса наносятся на этот график. Соответственно ему подбирается функция f(t) – линейная, или квадратичная, или степенная и т. п.
Использование аналитической информации. На основе содержательной и графической информации выбираются несколько функций, для каждой из которых строится регрессионное уравнение и рассчитываются показатели качества сглаживания (обычно с использованием компьютера), например, остаточная дисперсия, коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент детерминации и др. На основе такой аналитической информации решается - обычно экспертным путем - задача многокритериального выбора наилучшей сглаживающей функции f(t).
При прочих равных условиях рекомендуется отдавать предпочтение более простым функциям, например, линейным. Заметим также, что задача сглаживания часто решается в комплексе с задачей прогнозирования.
Наиболее часто используются такие функции:
| - линейная | f(t)=bo+b1t |
| - полиномиальная n-го порядка | f(t)=bo+b1t+... + bntn |
| - логиcтическая | f(t)= a / (1+be-ct) |
| - Гомперца | logcf(t)=a-brt, где 0< r< 1 |
Для сглаживания и прогнозирования чаще всего используется метод наименьших квадратов. Значения временного ряда yt рассматриваются как зависимая переменная, а время t - как объясняющая:
| yt=F(t) + et, | (5. 7) |
где - et - возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа: независимые и одинаково распределенные случайные величины с нормальным законом распределения.
|
|
|
Другим методом сглаживания временного ряда (и в некоторой степени - прогнозирования) является метод скользящих средних.
Пример: дан временной ряд 5, 7, 11, 12, 13, 16. Выполнить сглаживание методом скользящих средних, используя среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m=3.
Решение.
Вычисляем значения сглаженного ряда: z2=(5+7+11)/3=7, 7; z3=(7+11+12)/3=10, 0; z4=(11+12+13)/3=12, 0; z5=(12+13+16)/3=13, 7. Рекомендуем самим построить графики исходного и сглаженного временных рядов.
Для сглаживания методом скользящих средних помимо простой среднеарифметической используется также средневзвешенная арифметическая, например: z2 = (0, 25× 5+ 0, 50× 7 + + 0, 25× 11) = 7, 5 и т. д.
Прогнозирование на основе временных рядов обычно основано на принципе экстраполяции: тенденцию развития, установленную на основании прошлого, можно без большой погрешности распространить и на будущее - эволюционное развитие процесса. Такой прогноз эффективен на краткосрочную и - реже - среднесрочную перспективу.
Прогноз может быть точечным и интервальным. Величина интервала прогноза для t=tn+k может быть задана, тогда исчисляется вероятность попадания истинного значения уt в этот интервал. Чаще поступают наоборот: задаются доверительной вероятностью попадания в интервал, а затем исчисляют величину интервала. Ясно, что величина интервала тем больше, чем больше задана вероятность попадания и чем больше период экстраполяции (значение k) - прогностический конус.
Для прогнозирования на основе некоторых временных рядов естественно в качестве объясняющих переменных вводить лаговые переменные (от слова лаг - временной сдвиг): yt-1, yt-2, ..., yt-р. Например, если вы, как финансовый менеджер предприятия, хотите прогнозировать курс валюты, то самое эффективное - использовать лаговые переменные, поскольку вам практически недоступны текущие значения макроэкономических показателей ведущих валютных площадок мира. Авторегрессионная модель р-го порядка имеет вид:
| yt=bо+ b1 yt-1+ b2 yt-2 +... + bр yt-р + et ; (t=1, 2, ... , n). | (5. 8) |
|
|
|
