Рис. 3.1. Графическое представление матричного выражения (3.6)

     Для наглядности представим данное матричное выражение графически (рис. 3. 1). Полезно сравнить этот рисунок и выражение (3. 6), определить размерности матриц. Напомним, что произведение матриц определяется как повторение одной и той же операции: скалярное произведение очередной строки левой матрицы на очередной столбец правой матрицы, что условно и показано на рис. 3. 1.

 

                                                                        X                                      Y                                    

                              X’                          b               X’

                                             x     x =                     x

                                                 

Рис. 3. 1. Графическое представление матричного выражения (3. 6)

 

Чтобы разрешить систему (3. 6) линейных уравнений относительно вектора b, нужно обе части уравнения умножить слева (умножение матриц некоммутативно) на матрицу, обратную к матрице Х’X, т. е. на (Х’X)^-1. В результате получим систему линейных уравнений, разрешенную относительно вектора b:

 

b = (Х’X)-1X’Y.

(3. 7)

         

Теперь можно предпосылку-6 переформулировать более конструктивно: матрица Х’X должна быть неособенной, иначе говоря, ее определитель не должен равняться нулю: ê Х’X ê ¹ 0. Еще одно эквивалентное условие: матрица Х’X должна иметь обратную матрицу.

           Если воспользоваться стандартным пакетом программ, то именно в матричной форме удобнее всего формулировать задание (3. 7) для компьютера.

     Переформулируем предпосылки специально для матричной формы множественного регрессионного анализа:

1. В модели (3. 2) e - случайный вектор, Х - неслучайная матрица.

2. М(e) = 0_n, где 0_n, - вектор-столбец, состоящий из n нулей.

3. Одновременно и условие 4. å _e = М(ee‘) = s²Е_n, где Е_n - единичная матрица n x n (заметим, что квадратная матрица получается в результате умножения по правилам матричной алгебры матрицы-столбца на матрицу-строку).

5. e - случайная величина-вектор с n-мерным НЗР N_n(0, s²Е_n).

6. Ранг матрицы r(X) = p+1, причем p+1< n (неравенство требует, чтобы число наблюдений n было больше, чем число объясняющих переменных плюс 1).

     Теорема Гаусса-Маркова. При выполнении предпосылок 1-4 и 6 множественного регрессионного анализа оценка по МНК b = (Х’X)^-1X’Y является эффективной, т. е. обладает наименьшей дисперсией в классе линейных несмещенных оценок.

 

3. 3. Сравнение влияния объясняющих переменных

 

     При исследовании явления с помощью модели множественной регрессии часто бывает необходимым сравнить влияние объясняющих переменных на зависимую переменную. Иногда это можно сделать прямо по значениям коэффициентов регрессии b_i. Однако чаще всего они имеют разную размерность и их влияние трудно сопоставить. Поэтому используют стандартизованные коэффициенты регрессии b_j’ и коэффициенты (или функции) эластичности E_j (j=1, 2, ... , p):

 

bj’ =bj sxj / sy, отсюда bj = bj’ sy / sxj

(3. 8)

и

.

(3. 9)

     Стандартизованный коэффициент регрессии b_j’ показывает, на сколько величин s_y изменится в среднем зависимая переменная Y при увеличении только j-й объясняющей переменной на s_xj.

     Средний коэффициент эластичности  показывает, на сколько процентов изменится в среднем Y при увеличении одной переменной x_j в окрестности значения  на 1%.

     Пример 3. 1. На основе данных примера 2. 1, табл. 2. 2 для регрессии =76, 88-0, 35x рассчитать и раскрыть смысл стандартизованного коэффициента b₁’ и коэффициента эластичности E₁.

     Решение. По формуле (3. 8) b₁’ = b₁  s_x1 / s_y = -0, 35× 5, 86 / 5, 84 = -0, 35 (в нашем случае значение практически не изменилось). Итак, при увеличении среднесуточного дохода х₁ на s_x1 =5, 86 (руб. ) доля расходов на питание  уменьшится на 0, 35 (%). Заметим, что в данном примере объясняемая переменная измеряется в процентах по условию.

     Коэффициент эластичности:  = b_j /  = -0, 35× 54, 9/57, 89 = -0, 33. Таким образом, при увеличении суточного дохода на 1% доля расхода на питание сокращается на 0, 33%.

         

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: