 |
2.1 Упражнения. 3 Интерполяционный многочлен. 4. Если v(x) взаимно просто с многочленами g(x) и f(x), то v(x) взаимно просто с произведением g(x)f(x).
|
|
|
|
2. 1 Упражнения
1. Доказать свойства
1. Если v(x) взаимно просто с g(x), то 
2. Если v(x) взаимно просто с g(x), то 
3. 
4. Если v(x) взаимно просто с многочленами g(x) и f(x), то v(x) взаимно просто с произведением g(x)f(x).
5. Если v(x) взаимно просто с произведением многочленов g(x) и f(x), то v(x) взаимно просто с каждым из сомножителей.
6. Для любого v(x) справедливо равенство 
.
7. Двучлен 
взаимно прост с f(x) тогда и только тогда, когда 
2. Найти наибольший общий делитель многочленов
1. 
и 
2. 
и 
3. 
и 
4. 
и 
5. 
и 
6. 
и 
7. 
и 
8. 
и 
9. 
и 
10. 
и 
11. 
и 
12. 
и 
13. 
и 
14. 
и 
15. 
и 
16. 
и 
17. 
и 
18. 
и 
3. Найти наименьшее общее кратное многочленов
1. 
и 
2. 
и 
3. 
и 
4. 
и 
5. 
и 
6. 
и 
4. Найти наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) и многочлены u(x) и w(x) в представлении u(x)f(x)+w(x)g(x)=НОД(f(x), g(x)).
1. 
и 
2. 
и 
3. 
и 
4. 
и 
5. 
и 
6. 
и 
7. 
и 
8. 
и 
9. 
и 
10. 
и 
11. 
и 
12. 
и 
13. 
и 
14. 
и 
15. 
и 
16. 
и 
17. 
и
18. 
и
19. 
и 
20. 
и
21. и 
22. 
и 
5. Найти многочлен наименьшей степени, дающей в остатке
1. 
при делении на 
и 
при делении на 
2. 
при делении на 
и 
при делении на 
6. Освободиться от иррациональности в знаменателе
1. 
2. 
3. 
, если 
4. 
5. 
6. 
7. Представить в виде суммы дробей
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
3 Интерполяционный многочлен
Задача построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках принимает заданные значения, называется задачей интерполяции. Решение задачи интерполяции называют интерполяционным многочленом.
Пусть требуется построить многочлен, который в точках a1, …, an (n> 1) принимает значения y1, …, yn. Положим w(x)=(x-a1)…(x-an) и 
. Легко убедится в справедливости равенств wi(aj)=0 при 
. Следовательно, многочлен 
принимает в точках a1, …, an значения y1, …, yn. Существует единственный интерполяционный многочлен степени не превосходящий n-1, который принимает в точках a1, …, an значения y1, …, yn. . Следовательно, 
- интерполяционный многочлен. Представление интерполяционного многочлена в указанном виде называют формой Лагранжа.
|
|
|
Пусть f(x) – произвольный многочлен. Под разностью первого порядка будем понимать 
. Индукцией определим разность порядка k 
. Нетрудно проверить следующее выражение разности порядка k 
. Из полученной формулы вытекает независимость разности от порядка, в котором расположены ее аргументы.
Если степень многочлена f(x) равна n, то разность 
порядка k есть многочлен степени n-k при n 
k. Если n< k, то разность порядка k равна нулю. Из определения разности порядка k выводим равенство, позволяющее выразить многочлен через соответствующие разности 
. При решении задачи интерполяции 
, и, значит, получаем представление интерполяционного многочлена в форме Ньютона 
.
3. 1 Упражнения
1. Построить интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
2. Построить интерполяционный многочлен в форме Ньютона
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
3. Разложить в сумму дробей (с помощью интерполяционного многочлена в форме Лагранжа)
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
4. Найти сумму (используя интерполяционный многочлен в форме Ньютона)
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
, 
5. Многочлен 
при делении на 
имеет остаток 1, на 
имеет остаток 3, на 
имеет остаток 5, на 
имеет остаток 6. Какой остаток получится при делении 
на 
?
4 Неприводимый многочлен, его свойства
Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы) с коэффициентами из этого поля. Многочлен над числовым полем единственным образом раскладывается в произведение неприводимых многочленов, с точностью до перестановки сомножителей и числовых множителей.
|
|
|
Многочлены первой степени неприводимы над любым числовым полем. Число a называется корнем многочлена, если f(a)=0. Многочлен степени n имеет не более n корней. Приведем свойства неприводимых многочленов
A. Если h неприводимый многочлен и fg делится на h, то либо f делится на h, либо g делится на h
B. Если h неприводимый многочлен, то либо f взаимно просто с h, либо f делится на h
C. Если неприводимый многочлен f делится на многочлен h, то 
, где 
- число
D. Пусть 
- неприводимые многочлены и 
, 
, тогда 
и 
.
|
|
|
