Вопрос 12. Кривые линии. Порядок кривой. Кривые линии второго порядка: эллипс, парабола, гипербола - определения и правила построения.

Вопрос 12. Кривые линии. Порядок кривой. Кривые линии второго порядка: эллипс, парабола, гипербола - определения и правила построения.

Все кривые линии можно разделить на плоские и пространственные.

Все множество плоских кривых можно разделить на циркульные и лекальные.

Циркульной называют кривую, которую можно построить с помощью циркуля. К ним относятся окружность, овал, завиток и т. д.

Лекальной называют кривую, которую нельзя построить с помощью циркуля. Ее строят по точкам с помощью специального инструмента, называемого лекалом. К лекальным кривым относятся эллипс, парабола, гипербола, спираль Архимеда и др.
Лекальные кривые можно разделить на закономерные и незакономерные.
Закономерными называют кривые, которые можно задать алгебраическим выражением. Незакономерные кривые нельзя задать алгебраическим выражением.

Эллипс - кривая второго порядка, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса.

Один из вариантов построения эллипса по большой оси АВ и двум фокусам F ₁ и F ₂ приведен на рис. 2. 8. На большой оси эллипса откладываем произвольный отрезок АК, но больший отрезка AF ₁. Радиусом r ₁ = АК проводим окружности с центрами F ₁ и F ₂. Затем радиусом r ₂ = ВК проводим окружности, также с центрами F ₁ и F ₂. Точки 1, 2, 3, 4 пересечения больших и малых окружностей принадлежат эллипсу, так как они удовлетворяют определению эллипса.

Другой вариант построения эллипса по двум осям разобран на рис. 2. 9. При построении проводим окружности радиусами r и R из одного центра О и произвольную секущую ОА. Из точек пересечения 1 и 2 проводим прямые, параллельные осям эллипса. На их пересечении отмечаем точку М эллипса. Остальные точки строим аналогично.

Парабола - кривая второго порядка, расстояние от любой точки которой до фокуса равно расстоянию от этой точки до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

На рис. 2. 10 приведен пример построения параболы по директрисе 1 и фокусу F. Вершина параболы (точка А ) находится на середине отрезка OF. Далее от точки О вдоль оси параболы откладываем произвольный отрезок ОК, который должен быть больше ОА. Через точку К проводим прямую а, перпендикулярную оси параболы. Из фокуса радиусом r = ОК строим окружность. Точки 1 и 2 пересечения окружности и прямой а принадлежат параболе. Аналогично строим необходимое количество точек.

Гипербола - кривая второго порядка, разность расстояний от любой точки которой до двух фокусов есть величина постоянная, равная действительной оси гиперболы. Вдоль действительной оси расположены ветви гиперболы.

Гиперболу по величине действительной оси и двум фокусам строим в следующей последовательности (рис. 2. 11). На оси гиперболы откладываем произвольный отрезок АК. Проводим две окружности с центрами в F ₁ и F ₂ радиусом r ₁ = АК и две окружности радиусом r ₂ = ВК. Точки 1, 2, 3, 4 пересечения окружностей принадлежат гиперболе.
Гипербола - кривая, имеющая асимптоты, которые проходят через точку О и точки 5 и 6. Точки 5 и 6 находим на пересечении прямых, проведенных через вершины гиперболы перпендикулярно к оси, и окружности с центром О, проведенной через фокусы.

Пространственные кривые.

Цилиндрическая винтовая линия

Пусть точка А (рис. 2. 12) равномерно движется по прямой 1, прямая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг оси i, ей параллельной. При вращении прямая 1 образует цилиндрическую поверхность, а точка А опишет пространственную кривую, которую называют цилиндрической винтовой линией или гелисой (геликой). Расстояние от точки А до оси i называют радиусом винтовой линии, а расстояние между точками А¹ и А^VIII, лежащими на одной прямой - шагом винтовой линии.

Построим комплексный чертеж винтовой линии по ее радиусу R и шагу р (рис. 2. 13). Примем ось винтовой линии i, расположенной перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций П ₁. Все точки винтовой линии отстоят от оси на одинаковом расстоянии, поэтому горизонтальной проекцией этой линии будет окружность радиуса R с центром на оси L. Выберем начальную точку винтовой линии - точку 1. Разделим окружность на 12 равных частей и примем полученные точки за горизонтальные проекции точек, принадлежащих винтовой линии. По условию задачи шаг винтовой линии равен р, следовательно, при переходе точки 1 в положение 2 она поднимется на высоту, равную 1/12 р, при переходе в положение 3 - на высоту 2/12 р и т. д. Поделив шаг на 12 частей, построим фронтальные проекции точек, принадлежащих винтовой линии.
Совокупность этих точек даст фронтальную проекцию винтовой линии - синусоиду.
Винтовая линия может быть правого или левого хода. Если точка, перемещаясь по винтовой линии вращается по часовой стрелке и удаляется от наблюдателя, винтовая линия - правая. Если вращается против часовой стрелки и удаляется от наблюдателя, винтовая линия - левая. На рис. 2. 13 изображена правая винтовая линия.
Коническая винтовая линия
Коническая винтовая линия- пространственная кривая, образованная равномерным движением точки по прямой, которая равномерно вращается вокруг оси и пересекает ее.

Для построения конической винтовой линии (рис. 2. 14) изобразим некоторое число положений прямой, равномерно отстоящих друг от друга (в данном случае 12). Положение точки, движущейся вдоль прямой, будем фиксировать так, чтобы движение вдоль прямой было пропорционально угловому перемещению вокруг оси. Горизонтальной проекцией конической винтовой линии будет спираль Архимеда. Фронтальной проекцией - синусоида с затухающей амплитудой. Получили левую винтовую линию.