Оператор динамической системы.

Заметим, что непосредственное определение характеристик случайной функции из опыта применим далеко не всегда, т.к., во-первых, постановка опытов для исследования случайных функций подчас сложна для реализации, а, во-вторых, часто приходится исследовать случайные функции, характеризующие ошибки приборов, систем управления и т.д., еще не существующих, а только разрабатываемых. Поэтому в качестве основных рабочих методов исследования случайных функций применяются не прямые, а косвенные методы.

Задача косвенного исследования случайных функций обычно возникает в следующей форме: имеется некоторая динамическая система А (под «динамической системой» будем понимать любой прибор, систему автоматического управления и т.д.). Работу этой системы будем представлять себе следующим образом: на вход системы непрерывно поступают входные данные; система перерабатывает их и непрерывно выдает некоторый результат. Назовем поступающие на вход данные воздействием, а выдаваемый результат – реакцией системы на это воздействие.

Рассмотрим самый простой случай – на вход системы А подается только одно воздействие, представляющее собой функцию времени x (t); реакция системы на воздействие есть другая функция y (t). Будем говорить, что система А осуществляет над входным воздействием некоторое преобразование, в результате которого функция x (t) преобразуется в другую функцию y (t). Конечно, в действительности воздействие x (t) никогда не поступает на вход системы в чистом виде: оно всегда искажено некоторыми случайными ошибками, в результате которых на систему фактически воздействует не заданная функция x (t), а случайная функция X (t); соответственно этому система вырабатывает в качестве реакции случайную функцию Y (t), также отличающуюся от теоретической реакции y (t).

Естественно возникает вопрос: насколько велики будут случайные искажения реакции системы при наличии случайных возмущений системы, и как выбрать параметры системы, чтобы эти искажения были минимальными? С математической точки зрения этот вопрос можно сформулировать так: по заданным характеристикам (математическому ожиданию и корреляционной функции) случайной функции на входе динамической системы найти характеристики случайной функции на выходе.

В теории преобразования случайных функций мы будем пользоваться понятием оператора, которое является обобщением понятия функции. Мы говорим, что между двумя переменными х и у есть функциональная зависимость, если существует некоторый закон, который каждому значению переменной х ставит в соответствие вполне определенное значение переменной у: у = f (x). Соответствующие понятия и соответствующая символика применяется и в тех случаях, когда преобразованию подвергаются не переменные, а функции.

Пусть дана некоторая функция x (t). Установим некоторое правило А, согласно которому функция x (t) преобразуется в другую функцию y (t):

y (t) = А { x (t)}.

Правило А называется оператором. Мы знакомы с операторами дифференцирования , интегрирования и т.д.

Определение. Если динамическая система преобразует поступающую на ее вход функцию x (t) в функцию y (t):

y (t) = А { x (t)},

то оператор А называется оператором динамической системы.

Определение. Оператор L называется линейным однородным, если он обладает следующими свойствами:

1) к сумме функций оператор может применяться почленно

L { x ₁(t) + x ₂(t)} = L { x ₁(t)} + L { x ₂(t)};

2) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

L { С·x (t)} = С · L { x (t)}.

Из второго свойства следует, в частности, что L (0) = 0, при нулевом входном воздействии реакция системы равна нулю.

Оператор L называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторой вполне определенной функции φ (t):

L { x (t)} = L ₀{ x (t)} + φ (t).

Динамическая система, оператор которой является линейным, называется линейной динамической системой.