Стационарные случайные процессы.

Определение. Случайным процессом Х (t) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.

На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний существенно не изменяются с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными. Примерами стационарных случайных процессов могут служить колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета, колебания напряжения в электрической цепи, случайные шумы в радиоприемнике, процесс качки корабля, и т.д.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени непрерывно долго, и при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики.

Как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии, после чего система обычно переходит в установившийся режим, и тогда процессы, происходящие в ней, можно считать стационарными. В связи с этим получила широкое применение теория стационарных случайных процессов или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время).

Определение. Случайная функция Х (t) называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от t (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси t).

В предыдущей главе при изучении случайных функций мы не пользовались такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: изучались только математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик.

Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, естественно потребовать, чтобы ее математическое ожидание было постоянным:

m_x (t) = m_x = const.

Обратим внимание, однако, на то, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции Х (t) всегда можно перейти к центрированной случайной функции , для которой математическое ожидание тождественно равно нулю. Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет математического ожидания, то это не мешает изучать его как стационарный.

Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, - это условие постоянства дисперсии:

D_x (t) = D_x = const.

Теперь установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию Х (t) и положим в выражении K_x (t ₁, t ₂) t ₂ = t ₁ + τ. Рассмотрим теперь K_x (t ₁, t ₁ + τ) – корреляционный момент двух сечений случайной функции, разделенных интервалом времени τ. Очевидно, если случайный процесс действительно стационарен, то этот корреляционный момент не должен зависеть от того, где именно на оси 0t мы взяли участок τ, а только от длины этого участка. Т.е., корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть только от промежутка между первым и вторым аргументами

K_x (t ₁, t ₁ + τ) = k_x (τ).

Т.о., корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция одного аргумента, что сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями.

Заметим, что постоянство дисперсии является частным случаем приведенной формулы, т.к. D_x (t) = K_x (t, t) = k_x (0) = const.

Таким образом, переформулируем с помощью вышеприведенных рассуждений определение стационарной случайной функции – это есть случайная функция Х (t), математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента t и корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов t ₂ - t ₁. При этом корреляционная функция есть функция одного аргумента, а дисперсия равна значению корреляционной функции в начале координат (при τ = t ₂ - t ₁ = 0).

Свойства корреляционной функции стационарной функции.

1⁰. Корреляционная функция стационарной случайной функции – четная функция: k_x (τ) = k_x (- τ). Это следует из того, что K_x (t ₁, t ₂) = K_x (t ₂, t ₁).

2⁰. Абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения в начале координат: | k_x (τ)| ≤ k_x (0).

На практике вместо корреляционной функции k_x (τ) часто пользуются нормированной корреляционной функцией:

ρ_x (τ) = ,

где D_x = k_x (0) – постоянная дисперсия стационарного процесса. Очевидно, что ρ_x (0) ≡ 1.

Введем еще одно понятие, связанное со стационарностью.

Определение. Две случайные функции называются стационарно связанными, если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов.

Обратим внимание на то, что не всякие две стационарные функции стационарно связаны; с другой стороны, две нестационарные функции могут быть стационарно связаны.