2. 2. Стационарная теплопроводность

   2. 2. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

     В стационарных процессах теплопроводности температура в любой точке твердого тела не зависит от времени, т. е. ∂ Т/∂ t =0.

      В настоящей главе рассматриваются наиболее распространенные простейшие стационарные задачи теплопроводности при условии, что тепловыделение (теплопоглощение) в объеме стенок отсутствует, т. е. q_v=0. В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности после сокращения коэффициента температуропроводности принимает вид:

в прямоугольных координатах x, y, z

 

                      Ñ ² Т  = ∂ ²Т/∂ x²  +  ∂ ²Т/∂ y² +  ∂ ²Т/∂ z² = 0;          (2. 14)

 

в цилиндрических координатах r, j, z

 

       Ñ ² Т= ∂ ²Т/∂ r²  + 1/r ∙ _·∂ Т/∂ r + 1/r² ∙ ∂ ²Т/∂ j² + ∂ ²Т/∂ z² = 0.   (2. 15)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

2. 2. 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ОДНОСЛОЙНОЙ ПЛОСКОЙ                                    

                                             СТЕНКИ

  Рассмотрим температурное поле и тепловой поток при стационарной теплопроводности  через однослойную плоскую стенку, площадь боковой поверхности которой настолько велика, что теплообменом через ее торцы можно пренебречь. Участок такой стенки изображен на рис. 2. 4. Стенка имеет толщину δ и одинаковый для всей стенки коэффициент теплопроводности λ. Температуры на границах стенки Т_с1  и Т_с2 поддерживаются постоянными, а изотермические поверхности имеют форму плоскостей, параллельных поверхностям стенки. Температура меняется только в направлении, перпендикулярном к плоскости стенки, которое принимаем за ось x. При рассматриваемых условиях теплота может распространяться только вдоль оси x, и температурное поле будет одномерным. Температурные градиенты вдоль остальных осей координат равны нулю:

 

            ∂ Т/∂ y =  ∂ Т/∂ z = 0  и   ∂ ²Т/∂ y² =  ∂ ²Т/∂ z² = 0.      (2. 16)

 

  Поэтому дифференциальное уравнение теплопроводности (2. 14) приводится к виду:

                                             d²Т/dx²  = 0.                                       (2. 17)

 

Проинтегрировав это уравнение дважды, найдем:      

                                           

                                            dТ/dx  = С₁,                                        (2. 18)

  

                                       Т = С₁x + С₂,                                            (2. 19)

 

 где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

 

            Рис. 2. 4. Изменение температуры по толщине

                              однослойной плоской стенки

 

Следовательно, температурное поле однослойной плоской стенки при постоянном коэффициенте теплопроводности выражается линейной зависимостью температуры от координаты (рис. 2. 4).

Для определения постоянных интегрирования С₁ и С₂ воспользуемся граничными условиями первого рода, т. е. зададимся законом распределения температур на поверхности тела для любого момента времени:

                                   при x = 0 Т = Т_с1;

 

                                   при x = δ Т = Т_с2.

  

Подстановка этих условий в уравнение (2. 19), дает:

 

                                С₂ = Т_с1; С₁ = (Т_с2 – Т_с1)/δ.                          (2. 20)

    Заменив в (2. 19) постоянные интегрирования найденными выражениями (2. 20), получим уравнение стационарного температурного поля однослойной плоской стенки:

 

                                     Т = (Т_{с2 –} Т_с1)∙ _·x/δ + Т₁.                              (2. 21)

 

Определим плотность теплового потока через плоскую стенку. В соответствии с законом Фурье с учетом равенства (2. 18) можно записать:

 

                         q = - λ ∙ _·∂ Т/∂ x = - λ С₁ = - λ ∙ (Т_с2 – Т_с1)/δ.              (2. 22)

 

Или

                                        q = λ ∙ (Т_с1 – Т_с2)/δ.                                 (2. 23)

 

Зная плотность теплового потока через плоскую стенку, можно вычислить общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F:

 

                                        Q = λ F∙ (Т_с1 – Т_с2)/δ.                                 (2. 24)

 

 Следовательно, количество теплоты, передаваемое теплопроводностью через однослойную плоскую стенку, прямо пропорционально коэффи-циенту теплопроводности стенки, её площади, разности температур на-ружных поверхностей стенки и обратно пропорционально толщине стенки.

     Соотношение λ /δ называется тепловой проводимостью плоской стенки, а обратная величина δ /λ – термическим сопротивлением плоской стенки.

 

  2. 2. 2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛОСКОЙ

                                              СТЕНКИ                                

В тепловых аппаратах часто встречаются стенки, состоящие из нескольких плоских слоев различных материалов. Оценим темпе-ратурное поле и тепловой поток теплопроводностью через многослой-ную плоскую стенку, полагая, что все слои плотно прилегают друг к другу.

При стационарном тепловом режиме тепловые потоки через каждый из слоев будут одинаковыми, так как только при этом условии темпера-турное поле не изменяется с течением времени.

Для решения этой задачи рассмотрим трехслойную стенку, в которой толщина отдельных слоев равна δ ₁, δ ₂, δ ₃, а их коэффициенты тепло-проводности соответственно λ ₁, λ ₂, λ ₃ (рис. 2. 5). На внешних поверх-ностях стенки поддерживаются постоянные температуры Т_с1 и Т_с2, причем Т_{с1 >} Т_с2; температуры на границах между слоями Т_сл1 и Т_сл2.

 

                 Рис. 2. 5. Изменение температуры по толщине

                                 многослойной плоской стенки

 

Выразим плотности тепловых потоков через отдельные слои с помощью формулы (2. 23):

                                           q = λ ₁∙ (Т_с1 – Т_сл1)/δ ₁,

 

                                           q = λ ₂∙ (Т_сл1 – Т_сл2)/δ ₂,                         (2. 25)

                                               

                                           q = λ ₃∙ (Т_сл2 – Т_с2)/δ ₃.

 

Перепишем эти уравнения в виде:

 

                                             (Т_с1 – Т_сл1) = qδ ₁/λ ₁,

                                

                                             (Т_сл1 – Т_сл2) = qδ ₂/λ ₂,                        (2. 26)

                                           

                                             (Т_сл2 – Т_с2) = qδ ₃/λ ₃.

 

 Просуммировав правые и левые части этих равенств, получим:

                                                                                          

                               Т_с1 – Т_с2 = q(δ ₁/λ ₁ + δ ₂/λ ₂ + δ ₃/λ ₃).                                                                                    

 

Откуда                  q = (Т_с1 – Т_с2)/(δ ₁/λ ₁ + δ ₂/λ ₂ + δ ₃/λ ₃).               (2. 27)

 

Или для любой плоской многослойной стенки, состоящей из n слоев

                                                              _{i =n}

                                    q = (Т_с1 – Т_с2) / ∑ δ _i/λ _i,                          (2. 28)

                                                              ^{i =1}

Здесь i – номер слоя.

        _{i = n}

Величина ∑ δ _i/λ _i называется полным термическим сопротивлением                            

              ^{i = 1}

многослойной плоской стенки.    

Зная плотность теплового потока через многослойную плоскую стенку, можно вычислить общее количество теплоты, которое переда-ется через наружную поверхность стенки F:

                                                              _{i =n}

                                 Q = F∙ (Т_с1 – Т_с2) / ∑ δ _i/λ _i,                         (2. 29)

                                                              ^{i =1}

Для построения температурного поля многослойной стенки необходимо оценить температуру на поверхности каждого слоя в отдельности. Система уравнений (2. 26) позволяет получить расчетные формулы для определения температуры на поверхности любого слоя:

 

                                        Т_сл1 = Т_с1 - qδ ₁/λ ₁,

 

                                        Т_сл2 = Т_сл1 - qδ ₂/λ ₂,                                 (2. 30)

                                            

                                        Т_с2  = Т_сл2 - qδ ₃/λ ₃.

 

Температура в каждом слое стенки при постоянном для слоя коэффициенте теплопроводности изменяется по линейному закону, а для многослойной плоской стенки в целом она представляет собой ломаную линию. Температурное поле многослойной стенки изображено на рис. 2. 5. Наклон температурной линии в отдельных слоях различен. Это объясняется тем, что плотность теплового потока через каждый из слоев будет одинаковой:

 

                                       q = - λ ∙ _·∂ Т/∂ x = const.  

 

 Поэтому слои с меньшим коэффициентом теплопроводности имеют больший температурный градиент ∂ Т/∂ x и, следовательно, больший наклон температурной линии.

  При выводе формул для температурного поля и теплового потока теплопроводностью через многослойную плоскую стенку мы предполагали, что все слои плотно прилегают один к другому и благодаря хорошему контакту соприкасающиеся поверхности разных слоев имеют одну и ту же температуру. В действительности на границе раздела двух слоев зачастую имеет место неплотное соприкосновение поверхностей. Это приводит к возникновению контактного термичес-кого сопротивления. В результате уменьшается тепловой поток тепло-проводностью через многослойную стенку.

Повышение сопротивления тепловому потоку в месте контакта двух поверхностей обусловлено меньшим коэффициентом теплопроводности газовой прослойки по сравнению с твердым телом, отклонением направления теплового потока от нормали к поверхности контакта, повышенным термическим сопротивлением поверхностного слоя из-за окисной пленки и загрязения. Надежные сведения о величинах контактного термического сопротивления получаются опытным путем.

Контактное термическое сопротивление существенно уменьшается при покрытии соприкасающихся поверхностей мягкими металлами (медь, олово и др. ) или при прокладках из мягких материалов.

    

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: