Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

3. 1. 2. Система дифференциальных уравнений




3. 1. 2. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

                      КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

     Для полного аналитического описания процесса конвективного теплообмена необходимо задать систему дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы (уравнение неразрывности, сплошности), импульса (уравнение движения), энергии, соответствую-щие специальные законы переноса импульса и теплоты, зависимость физических свойств теплоносителя от температуры и давления и, наконец, условия однозначности, включающие начальные и граничные условия. Дифференциальные уравнения неразрывности и движения для потока несжимаемой жидкости (ρ = const) с постоянной вязкостью имеют вид:

уравнение неразрывности (сплошности)

 

                               ∂ wx/∂ x + ∂ wy/∂ y + ∂ wz/∂ z = 0;                       (3. 10)

 

уравнение движения (уравнение Навье-Стокса )

    для оси x

                     ρ ( ∂ wx/∂ τ + wx∂ wx/∂ x + wy∂ wx/∂ y + wz∂ wx/∂ z) =

                       

                     = ρ gx -  ∂ p/∂ x + μ (∂ 2wx/∂ x2 + ∂ 2wx/∂ y2 + ∂ 2wx/∂ z2);  

                       

    для оси y

                     ρ ( ∂ wy/∂ τ + wx∂ wy/∂ x + wy∂ wy/∂ y + wz∂ wy/∂ z) =

                           

                    = ρ gy -  ∂ p/∂ y + μ (∂ 2wy/∂ x2 + ∂ 2wy/∂ y2 + ∂ 2wy/∂ z2); (3. 11)

        

    для оси z

                     ρ ( ∂ wz/∂ τ + wx∂ wz/∂ x + wy∂ wz/∂ y + wz∂ wz/∂ z) =

                           

                    = ρ gz-  ∂ p/∂ z + μ (∂ 2wz/∂ x2 + ∂ 2wz/∂ y2 + ∂ 2wz/∂ z2);

 

уравнение энергии (при отсутствии внутренних источников теплоты)

 

                           ∂ Т/∂ τ + wx∂ Т/∂ x + wy∂ Т/∂ y + wz∂ Т/∂ z =

                                                                                                          (3. 12)

                          = λ /срρ (∂ 2Т/∂ x2 + ∂ 2Т/∂ y2 + ∂ 2Т/∂ z2) =α Ñ 2Т;

 

где  τ – время;

  p – давление;

ρ g – массовая сила, обусловленная ускорением силы тяжести g и 

        отнесенная к единице объема.

Уравнение (3. 11) справедливо для ламинарного и турбулентного движений и выражает закон сохранения количества движения (импульса). В случае турбулентного движения w представляет собой действительную (мгновенную) скорость.

В уравнениях (3. 11) и (3. 12) в качестве специальных законов переноса используются закон трения Ньютона

 

                                             S = μ (∂ w/∂ n)                                   (3. 13)

 

и закон теплопроводности Фурье

 

                                             q = -λ (∂ Т/∂ n).                                     (3. 14)

 

Таким образом, задача конвективного теплообмена описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (3. 10)-(3. 12). Решение этих дифференциальных уравнений содержит постоянные (константы) интегрирования и потому не является однозначным, то есть система имеет бесчисленное множество решений. Для того чтобы получить единственное решение, необходимо к системе дифференциальных уравнений присоединить условия однозначности, которые конкретизируют задачу.

Геометрические условия однозначности для процесса теплоотдачи отражают форму и размеры поверхности соприкосновения тепло-носителя с телом, физические условия – свойства теплоносителя (тепло-проводность, вязкость и др. ); временные или начальные условия, обусловливающие особенности процесса в начальный момент времени (для стационарных задач эти условия отпадают). Граничные условия описывают распределение скоростей и температур на границах изучае-мой системы (жидкой среды).

Следует иметь в виду, что система дифференциальных уравнений (3. 10)-(3. 12), описывающая процесс теплоотдачи, даже при введении упрощающих предпосылок решается только для некоторых простейших случаев.

Уравнения движения значительно упростятся, если предположить, что силы вязкости (трения) имеют существенное значение только в пределах пограничного слоя, а в остальной части потока ими можно пренебречь. Эта гипотеза была выдвинута в 1904 году Прандтлем.

Гипотеза Прандтля позволила преодолеть математические трудности при решении дифференциальных уравнений движения и послужила основанием для создания теории пограничного слоя. Вывод получен-ного Прандтлем уравнения гидродинамического пограничного слоя подробно излагается в курсе «Гидрогазодинамика» и поэтому здесь не приводится. Следовательно, для некоторых частных случаев задачи конвективного теплообмена могут быть решены (при упрощающих предпосылках) аналитическими методами теории пограничного слоя.

 Количественные соотношения для расчета теплоотдачи можно получить с помощью идеи О. Рейнольдса о единстве механизмов переноса теплоты и количества движения в потоке жидкости. Единство материальных частиц, участвующих в переносе количества движения и теплоты, приводит к подобию полей скорости и температуры в неизотермическом потоке, взаимодействующем со стенкой. Существование такого подобия доказывается на основе анализа уравнений движения и энергии, определяющих распределение скоростей и температур в системе. Подобие этих полей позволяет установить связь между характеристиками интенсивности теплоотдачи и трения на поверхности стенки.

При выводе дифференциальных уравнений конвективного теплообмена использованы самые общие законы природы, которые в свою очередь являются результатом чрезвычайно широкого обобщения опытных данных. Поэтому теоретические методы исследования теплоотдачи ценны тем, что они дают наиболее общие закономерности и позволяют анализировать факторы, определяющие явление, в широком диапазоне изменения аргументов. Но при аналитическом ре-шении задачи всегда исследуется упрощенная схема явления, и потому точность полученных результатов оценивается путем сопоставления их с экспериментальными данными.

Во многих случаях физический эксперимент остается единственным способом получения закономерностей, определяющих теплоотдачу. Чтобы с помощью эксперимента получить наиболее общую формулу для определения коэффициента теплоотдачи, пригодную не только для исследованных явлений, но и для всех явлений, подобных исследованным, постановку эксперимента и обработку опытных данных необходимо осуществлять на основе теории подобия физических явлений.

    

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...