 |
3. 1. 2. Система дифференциальных уравнений
|
|
|
|
3. 1. 2. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
Для полного аналитического описания процесса конвективного теплообмена необходимо задать систему дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы (уравнение неразрывности, сплошности), импульса (уравнение движения), энергии, соответствую-щие специальные законы переноса импульса и теплоты, зависимость физических свойств теплоносителя от температуры и давления и, наконец, условия однозначности, включающие начальные и граничные условия. Дифференциальные уравнения неразрывности и движения для потока несжимаемой жидкости (ρ = const) с постоянной вязкостью имеют вид:
уравнение неразрывности (сплошности)
∂ wx/∂ x + ∂ wy/∂ y + ∂ wz/∂ z = 0; (3. 10)
уравнение движения (уравнение Навье-Стокса )
для оси x
ρ ( ∂ wx/∂ τ + wx∂ wx/∂ x + wy∂ wx/∂ y + wz∂ wx/∂ z) =
= ρ gx - ∂ p/∂ x + μ (∂ 2wx/∂ x2 + ∂ 2wx/∂ y2 + ∂ 2wx/∂ z2);
для оси y
ρ ( ∂ wy/∂ τ + wx∂ wy/∂ x + wy∂ wy/∂ y + wz∂ wy/∂ z) =
= ρ gy - ∂ p/∂ y + μ (∂ 2wy/∂ x2 + ∂ 2wy/∂ y2 + ∂ 2wy/∂ z2); (3. 11)
для оси z
ρ ( ∂ wz/∂ τ + wx∂ wz/∂ x + wy∂ wz/∂ y + wz∂ wz/∂ z) =
= ρ gz- ∂ p/∂ z + μ (∂ 2wz/∂ x2 + ∂ 2wz/∂ y2 + ∂ 2wz/∂ z2);
уравнение энергии (при отсутствии внутренних источников теплоты)
|
|
|
∂ Т/∂ τ + wx∂ Т/∂ x + wy∂ Т/∂ y + wz∂ Т/∂ z =
(3. 12)
= λ /срρ (∂ 2Т/∂ x2 + ∂ 2Т/∂ y2 + ∂ 2Т/∂ z2) =α Ñ 2Т;
где τ – время;
p – давление;
ρ g – массовая сила, обусловленная ускорением силы тяжести g и
отнесенная к единице объема.
Уравнение (3. 11) справедливо для ламинарного и турбулентного движений и выражает закон сохранения количества движения (импульса). В случае турбулентного движения w представляет собой действительную (мгновенную) скорость.
В уравнениях (3. 11) и (3. 12) в качестве специальных законов переноса используются закон трения Ньютона
S = μ (∂ w/∂ n) (3. 13)
и закон теплопроводности Фурье
q = -λ (∂ Т/∂ n). (3. 14)
Таким образом, задача конвективного теплообмена описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (3. 10)-(3. 12). Решение этих дифференциальных уравнений содержит постоянные (константы) интегрирования и потому не является однозначным, то есть система имеет бесчисленное множество решений. Для того чтобы получить единственное решение, необходимо к системе дифференциальных уравнений присоединить условия однозначности, которые конкретизируют задачу.
Геометрические условия однозначности для процесса теплоотдачи отражают форму и размеры поверхности соприкосновения тепло-носителя с телом, физические условия – свойства теплоносителя (тепло-проводность, вязкость и др. ); временные или начальные условия, обусловливающие особенности процесса в начальный момент времени (для стационарных задач эти условия отпадают). Граничные условия описывают распределение скоростей и температур на границах изучае-мой системы (жидкой среды).
|
|
|
Следует иметь в виду, что система дифференциальных уравнений (3. 10)-(3. 12), описывающая процесс теплоотдачи, даже при введении упрощающих предпосылок решается только для некоторых простейших случаев.
Уравнения движения значительно упростятся, если предположить, что силы вязкости (трения) имеют существенное значение только в пределах пограничного слоя, а в остальной части потока ими можно пренебречь. Эта гипотеза была выдвинута в 1904 году Прандтлем.
Гипотеза Прандтля позволила преодолеть математические трудности при решении дифференциальных уравнений движения и послужила основанием для создания теории пограничного слоя. Вывод получен-ного Прандтлем уравнения гидродинамического пограничного слоя подробно излагается в курсе «Гидрогазодинамика» и поэтому здесь не приводится. Следовательно, для некоторых частных случаев задачи конвективного теплообмена могут быть решены (при упрощающих предпосылках) аналитическими методами теории пограничного слоя.
Количественные соотношения для расчета теплоотдачи можно получить с помощью идеи О. Рейнольдса о единстве механизмов переноса теплоты и количества движения в потоке жидкости. Единство материальных частиц, участвующих в переносе количества движения и теплоты, приводит к подобию полей скорости и температуры в неизотермическом потоке, взаимодействующем со стенкой. Существование такого подобия доказывается на основе анализа уравнений движения и энергии, определяющих распределение скоростей и температур в системе. Подобие этих полей позволяет установить связь между характеристиками интенсивности теплоотдачи и трения на поверхности стенки.
При выводе дифференциальных уравнений конвективного теплообмена использованы самые общие законы природы, которые в свою очередь являются результатом чрезвычайно широкого обобщения опытных данных. Поэтому теоретические методы исследования теплоотдачи ценны тем, что они дают наиболее общие закономерности и позволяют анализировать факторы, определяющие явление, в широком диапазоне изменения аргументов. Но при аналитическом ре-шении задачи всегда исследуется упрощенная схема явления, и потому точность полученных результатов оценивается путем сопоставления их с экспериментальными данными.
|
|
|
Во многих случаях физический эксперимент остается единственным способом получения закономерностей, определяющих теплоотдачу. Чтобы с помощью эксперимента получить наиболее общую формулу для определения коэффициента теплоотдачи, пригодную не только для исследованных явлений, но и для всех явлений, подобных исследованным, постановку эксперимента и обработку опытных данных необходимо осуществлять на основе теории подобия физических явлений.
|
|
|
