2. 2. 3. Теплопроводность однослойной

      2. 2. 3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ОДНОСЛОЙНОЙ

                             ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ

  Рассмотрим теплопроводность однородной цилиндрической стенки большой длины так, чтобы передачей теплоты с торцов трубы можно было пренебречь (рис. 2. 6). Если внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах Т_с1 и Т_с2, то тепловой поток имеет радиальное направление, а изотермические поверхности имеют форму цилиндров, у которых общая ось с трубой. В этих услови-ях температурное поле будет одномерным:

 

                                             Т = f (r),

 

где r – текущая цилиндрическая координата.

На рис. 2. 6 изображена цилиндрическая стенка длиной l, у которой внутренний радиус равен r₁, а наружный - r₂. Коэффициент теплопро-водности λ будем считать одинаковым для всей стенки.

 

 

Рис. 2. 6. Изменение температуры по толщине однослойной         

                                     цилиндрической стенки

 

Для стационарной одномерной задачи о теплопроводности цилиндрической стенки без внутренних источников теплоты дифферен-циальное уравнение теплопроводности (2. 15) приводится к виду:

 

                                   d²Т/dr²  + 1/r ∙ _·dТ/dr = 0.                            (2. 31)

 

Введение новой переменной u = _·∂ Т/∂ r позволяет привести уравнение (2. 31) к виду:

                                            du/d r + u/r = 0.                                (2. 32)

Разделим переменные                                    

                                            du/u + d r/r = 0                                (2. 33)

и проинтегрируем                                              

                                           ln u + ln r = ln С₁.                                                      (2. 34)

 

 Потенцирование этого выражения ur = С₁, переход к первоначальным

координатам    

                         dТ/d r ∙ r = С₁   или dТ = С₁ ∙ d r/r

 

и интегрирование дает

                                             Т = С₁ ln r + С₂,                                (2. 35)

 

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Следовательно, распределение температур в стенке цилиндрической трубы представляет собой логарифмическую кривую.

Искривление линии температурного поля в цилиндрической стенке обусловлено изменением плотности теплового потока при изменении радиуса цилиндра: при уменьшении радиуса площадь поверхности, через которую проходит тепло, также уменьшается. Поэтому на малых радиусах температурная линия проходит более круто. Это правило остается в силе и при обратном направлении теплового потока (пунктир на рис. 2. 6).

     Для определения постоянных интегрирования С₁ и С₂ воспользуемся граничными условиями первого рода, т. е. зададимся законом распределения температур на наружной и внутренней поверх-ности цилиндрической стенки для любого момента времени:

 

                                   при r = r₁ Т = Т_с1;

 

                                   при r = r₂ Т = Т_с2.

  

Подставив эти эти выражения в уравнение (2. 35), получим:

 

    С₁ = (Т_с1–Т_с2)/ln (r₁/r₂); С₂ = Т_{с1 –} (Т_с1–Т_с2)∙ ln r₁/ln (r₁/r₂).     (2. 36)        

                                                                                                                                  

Заменив в (2. 35) постоянные интегрирования найденными выражениями (2. 36), получим уравнение стационарного температурного поля однородной цилиндрической стенки:

 

                           Т = Т₁ - (Т_{с1 –} Т_с2)∙ ln (r/r₁) / ln (r₂/r₁),                   (2. 37)

 

где r – переменный радиус.

Определим тепловой поток через изотермическую поверхность с радиусом r. В соответствии с законом Фурье:

 

                                Q = - λ F_·dТ/dr = - λ 2π rl∙ _·dТ/dr.                       (2. 38)

 

Из формулы (2. 37) в результате вычисления производной от Т по переменному радиусу r получается следующее выражение для температурного градиента:

 

                                 dТ/dr = - (Т_{с1 –} Т_с2)∙ (1/r) / ln (r₂/r₁).               (2. 39)

 

После подстановки выражения (3. 39) в (3. 38) получим формулу для теплового потока:

 

  Q = π l(Т_с1 – Т_с2) / (1/2λ ) ln (r₂/r₁) =π l(Т_с1 – Т_с2) / (1/2λ ) ln (d₂/d₁). (2. 40)

 

Если отнести тепловой поток к единице длины цилиндрической стенки, то формула (2. 40) перепишется в виде:

 

       q_l = π (Т_с1–Т_с2)/(1/2λ )ln (r₂/r₁) = π (Т_с1 – Т_с2)/(1/2λ ) ln (d₂/d₁). (2. 41)

 

Величину (1/2λ ) ln (d₂/d₁) называют термическим сопротивлением цилиндрической стенки.

Обозначим плотности теплового потока на внутренней и внешней поверхностях через q₁ и q₂. Так как

 

                                   Q = q_l l = q₁ 2π r₁ l = q₂ 2π r₂ l,

то

                                       q_l = q₁ 2π r₁  = q₂ 2π r₂ .                           (2. 42)

 

Отсюда плотность теплового потока:

 на внутренней поверхности цилиндрической стенки

 

                          q₁  = q_l / 2π r₁ = (Т_с1 – Т_с2) / (r₁/λ )ln (r₂/r₁),            (2. 43)

 

на внешней поверхности цилиндрической стенки

 

                       q₂  = q_l / 2π r₂ = (Т_с1 – Т_с2) / (r₂/λ )ln (r₂/r₁).               (2. 44)

 

Если r₂/r₁ < 2, т. е. труба тонкостенная, то кривизна стенки слабо влияет на величину теплового потока. В этом случае (с точностью до 4%) для определения теплового потока, отнесенного к единице длины цилиндрической стенки, вместо выражения (2. 41) можно использовать формулу плоской стенки:

 

                               q_l = 2 λ π r_cр(Т_с1 – Т_с2) / (r₂  - r₁),                      (2. 45)

 

где r_cр – средний радиус цилиндрической стенки.

 

 

                                      

2. 2. 3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ МНОГОСЛОЙНОЙ

                            ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ

   Как и в случае с плоской многослойной стенкой, в тепловых аппаратах также часто встречаются стенки, состоящие из нескольких цилиндрических слоев различных материалов. Оценим температурное поле и тепловой поток теплопроводностью через многослойную цилиндрическую стенку стенку, полагая, что все слои плотно прилегают друг к другу.

  Для решения этой задачи рассмотрим трехслойную цилиндрическую стенку, в которой радиусы слоев r₁, r₂, r₃, r₄, а их коэффициенты теплопроводности соответственно λ ₁, λ ₂, λ ₃ (рис. 2. 7). На внешних поверхностях стенки поддерживаются постоянные темпе-ратуры Т_с1 и Т_с2, причем Т_{с1 >} Т_с2; температуры на границах между слоями Т_сл1 и Т_сл2. Температура каждого слоя стенки изменяется по логарифмической кривой. Общая температурная кривая представляет собой ломаную логарифмическую кривую.

При стационарном тепловом режиме тепловые потоки через каждый из слоев будут одинаковыми, так как только при этом условии температурное поле не изменяется с течением времени.

Выразим тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндри-

ческой стенки, через отдельные слои с помощью формулы (2. 41):

 

                                q_l = π (Т_с1 – Т_сл1) / (1/2λ ₁)ln (r₂/r₁),  

                     

                                  q_l = π (Т_сл1 – Т_сл2) / (1/2λ ₂)ln (r₃/r₂),                 (2. 46)       

                                

                                q_l = π (Т_сл2 – Т_с2) / (1/2λ ₃)ln (r₄/r₃).                       

 

 

    Рис. 2. 7. Изменение температуры по толщине многослойной              

                                     цилиндрической стенки

 

Перепишем эти уравнения в виде:

 

                                    (Т_с1 – Т_сл1) = q_l(1/2π λ ₁)ln (r₂/r₁),

                                 

                                    (Т_сл1 – Т_сл2) =q_l(1/2π λ ₂)ln (r₃/r₂),               (2. 47)

                                   

                                    (Т_сл2 – Т_с2) = q_l(1/2π λ 3)ln (r4/r3).

 

 Просуммировав правые и левые части этих равенств, получим:

                                                                                              

   Т_с1 – Т_с2 = q_l[(1/2π λ ₁)ln (r₂/r₁) + (1/2π λ ₂)ln (r₃/r₂) + (1/2π λ ₃)ln (r₄/r₃)].                                                                                

 

Откуда 

 

q_l = π (Т_с1 – Т_с2) /[(1/2λ ₁)ln (r₂/r₁) + (1/2λ ₂)ln (r₃/r₂) + (1/2λ ₃)ln (r₄/r₃)]. (2. 48)       

 

Или для любой цилиндрической многослойной стенки, состоящей из n слоев                                                _n

                             q_l = π (Т_с1 – Т_с2) / ∑ (1/2λ _i)∙ ln (r_i+1/ r_i).              (2. 49)

                                                         ⁱ⁼¹

 Здесь i – номер слоя.

               _{i = n}

Величина ∑ (1/λ _i)∙ ln (r_i+1/ r_i) называется полным термическим со-

                    ^{i =1}

противлением многослойной цилиндрической стенки.    

   Тепловой поток через многослойную цилиндрическую стенку длиной l определится по формуле:

                                                                _{i =n}

                                 Q = π l(Т_с1 – Т_с2) / ∑ (1/2λ _i)∙ ln (r_i+1/ r_i).          (2. 50)                                      

                                                                ^{i =1}

Для построения температурного поля многослойной стенки необходимо оценить температуру на поверхности каждого слоя в отдельности. Система уравнений (2. 47) позволяет получить расчетные формулы для определения температуры на поверхности любого слоя:

 

                                Т_сл1 = Т_с1 - q_l(1/2π λ ₁)ln (r₂/r₁),

 

                                 Т_сл2 = Т_сл1 - q_l(1/2π λ ₂)ln (r₃/r₂),                    (2. 51)

                                     

                                  Т_с2  = Т_сл2 – q_l(1/2π λ ₃)ln (r₄/r₃).

    

Температурное поле многослойной цилиндрической стенки показано на рис. 2. 7.

   При выводе формул для температурного поля и теплового потока теплопроводностью через многослойную цилиндрическую стенку мы предполагали, что все слои плотно прилегают один к другому и благодаря хорошему контакту соприкасающиеся поверхности разных слоев имеют одну и ту же температуру. В действительности на границе раздела двух слоев, так же как и в случае с многослойной плоской стенкой, зачастую имеет место неплотное соприкосновение поверхностей. Это приводит к возникновению контактного терми-ческого сопротивления. В результате уменьшается тепловой поток теплопроводностью через многослойную цилиндрическую стенку.

Повышение сопротивления тепловому потоку в месте контакта двух поверхностей обусловлено, как и в случае с многослойной плоской стенкой, меньшим коэффициентом теплопроводности газовой прослойки по сравнению с твердым телом, отклонением направления теплового потока от нормали к поверхности контакта, повышенным термическим сопротивлением поверхностного слоя из-за окисной пленки и загрязения. Надежные сведения о величинах контактного термического сопротивления получаются опытным путем.

   Контактное термическое сопротивление существенно уменьшается при покрытии соприкасающихся поверхностей мягкими металлами (медь, олово и др. ) или при прокладках из мягких материалов.

 

                              Контрольные вопросы

 

1. Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности однослойной плоской стенки.
2. Уравнение стационарного температурного поля однослойной плоской стенки.
3. Уравнение плотности теплового потока через однослойную плоскую стенку при стационарной теплопроводности.
4. Термическое сопротивление однослойной плоской стенки при стационарной теплопроводности.
5. Опишите стационарное температурное поле многослойной плоской стенки.
6. Уравнение плотности теплового потока через многослойную плоскую стенку при стационарной теплопроводности.
7. Полное термическое сопротивление многослойной плоской стенки при стационарной теплопроводности.
8. Как влияет контактное термическое сопротивление на тепловой поток теплопроводностью через многослойную плоскую стенку.
9. Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности однослойной цилиндрической стенки.
10. Уравнение стационарного температурного поля однослойной цилиндрической стенки.
11. Уравнение плотности теплового потока через однослойную цилиндрическую стенку при стационарной теплопроводности.
12. Термическое сопротивление однослойной цилиндрической стенки при стационарной теплопроводности.
13. Опишите стационарное температурное поле многослойной цилиндрической стенки.
14. Уравнение теплового потока через многослойную цилиндри-ческую стенку при стационарной теплопроводности.
15. Полное термическое сопротивление многослойной цилиндри-ческой стенки при стационарной теплопроводности.
16. Как влияет контактное термическое сопротивление на тепловой поток через многослойную цилиндрическую стенку.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: