3. 1. 3. Применение теории подобия к исследованию

                      КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

Исходные дифференциальные уравнения и их решение, а также результаты экспериментального изучения конвективного теплообмена целесообразно представлять в виде зависимостей между безразмерными комплексами – числами подобия. Эти безразмерные (отвлеченные) чис-ла составляются из размерных физических параметров, определяющих явление конвективного теплообмена. Произведение чисел подобия и частное от их деления также представляют собой числа подобия.

Приведение математического описания процесса конвективного теплообмена и расчетных соотношений к безразмерному виду позволяет выявить условия подобия и сопоставимости процессов, сокращает число переменных и постоянных величин, определяющих процесс; в случае экспериментального исследования позволяет свести к минимуму число величин, которые необходимо варьировать в опытах, указывает компактный и рациональный способ обобщения экспериментальных данных; дает возможность не решая исходную систему дифферен-циальных уравнений, анализировать предельные случаи и установить числа подобия, которые характеризуют наиболее существенные особенности процессов теплоотдачи в данных конкретных условиях. Эти числа подобия в общем случае являются мерой относительного влияния действующих сил и процессов переноса (потока импульса, энергии, массы) на течение жидкости и теплообмен. Так, для стацио-нарных процессов конвективного теплообмена в однофазной несжимаемой жидкости с постоянными (кроме плотности) физическими свойствами характерны следующие безразмерные числа подобия:

число Нуссельта

                                               Nu = α ℓ /λ,                                      (3. 15)

 

характеризующее конвективный теплообмен между теплоносителем и поверхностью твердого тела. Число Нуссельта определяется теми же величинами, что и число Био (формула 2. 61), но в число Nu входит коэффициент теплопроводности теплоносителя (жидкости или газа), а в число Bi – коэффициент теплопроводности твердого тела;

число Рейнольдса

                                            Re = wℓ ρ /μ =  wℓ /ν,                          (3. 16)

 

 характеризующее соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке теплоносителя (жидкости или газа);

   число Прандтля

                                            Pr = μ c_p/λ = ν /α ,                                (3. 17)

характеризующее физические свойства теплоносителя;

число Грасгофа

                                            Gr = β gℓ ³∆ Т/ν ²,                                 (3. 18)

 

характеризующее соотношение подъемной силы, возникающей вследствие разности плотностей теплоносителя и сил вязкости;

число Пекле

                              Pe = Re∙ Pr = (wℓ /ν )∙ (ν /α ) = wℓ /α ,                   (3. 19)

 

характеризующее соотношение конвективных и молекулярных потоков теплоты при конвективном теплообмене;

число Стантона

 

         St = Nu/Pe = (α ℓ /λ )/(wℓ /α )=(α ℓ /λ )/(wℓ ρ c_p/λ ) = α /(wρ c_p), (3. 20)

 

выражающее интенсивность теплоотдачи (безразмерный коэффициент теплоотдачи).

В (3. 15)-(3. 20) приняты обозначения:

α – коэффициент теплопередачи;

ℓ - характерный линейный размер;

w – скорость теплоносителя;

λ - коэффициент теплопроводности теплоносителя (жидкость или газ);

ρ – плотность теплоносителя;

μ - динамический коэффициент вязкости;    

ν = μ /ρ – кинематический коэффициент вязкости;

c_p - удельная теплоемкость жидкости или газа при постоянном 

  давлении;  

α = λ /ρ c_p – коэффициент температуропроводности;

∆ Т – разность температур поверхности твердого тела и жидкости

      (газа);

g - ускорение свободного падения;

β – коэффициент объемного расширения. Для идеального газа β = 1/Т,

для капельных жидкостей в интервале изменения температуры от

Т₁ до Т₂ среднее значение β = (ρ ₁ - ρ ₂)/[ρ ₁(Т₂ -Т₁), где ρ ₁ и ρ ₂ -

плотность жидкости соответственно при температуре Т₁ и Т₂.

 

Возможность и целесообразность формального обобщения зависимостей в безразмерном виде выражают глубокий смысл подобия явлений, процессов. Теория подобия – это учение об условиях подобия физических явлений. Физические явления, процессы или системы подобны, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одной системы, пропорциональны соответствующим величинам другой системы. Коэффициент пропорциональности для каждой из величин называется коэффициентом подобия.

Физическое подобие является обобщением элементарного и наглядного понятия геометрического подобия, характеризующего наличие одинаковой формы у геометрических фигур, независимо от их размеров. При геометрическом подобии существует пропорциональ-ность (подобие) сходственных геометрических элементов подобных фигур или тел. При физическом подобии поля соответствующих физических параметров двух систем подобны в пространстве и времени. Например, при кинематическом подобии существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых движений; при динамическом подобии реализуется подобие систем действующих сил или силовых полей различной физической природы (силы тяжести, силы давления, силы вязкости и т. п. ); при подобии тепловых процессов подобны соответствующие поля температур и тепловых потоков. При этом:

1) понятие подобия применимо только к явлениям одного и того же рода, одной физической природы, которые качественно одинаковы и описываются уравнениями, одинаковыми по форме и по содержанию.

Если математическое описание двух явлений одинаково по форме, но различно по содержанию, то такие явления называются аналогичными. Например, известна аналогия процессов теплопроводности, электрической проводимости и диффузии;

2)обязательной предпосылкой подобия физических явлений является геометрическое подобие, т. е. подобные явления протекают в геометрически подобных системах;

3) при анализе подобных явлений можно сопоставлять только однородные величины и лишь в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени;

4)подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих эти явления.

Основные положения теории подобия физических явлений формулируются в виде трех теорем. Две первых теоремы исходят из факта существования подобия и формулируют основные свойства подобных между собой явлений. Третья теорема – обратная. Она уста-навливает признаки, по которым можно узнать, подобны ли два явления друг другу.

   Первая теорема: у подобных явлений одноименные числа подобия одинаковы.

Из первой теоремы следует, что результаты одного опыта или расчета, представленные в виде количественных значений чисел подобия, позволяют судить не только об исследованном явлении, но и обо всех явлениях, подобных исследованному. Поэтому, обрабатывая результаты экспериментов в виде уравнения связи между числами подобия, называемого уравнением подобия, получаем формулы, характеризующие не только исследованные явления, но и все явления, подобные исследованным.

Вторая теорема: если физическое явление описывается системой дифференциальных уравнений, то интеграл этой системы уравнений можно представить как функцию чисел подобия, полученных из дифференциальных уравнений.

Вторая теорема указывает путь получения чисел подобия: числа подобия могут быть получены из дифференциальных уравнений, описывающих исследуемое явление.

    Третья теорема определяет минимальные условия, при которых явления будут подобными. Ее можно сформулировать так: подобны те явления, условия однозначности которых подобны и числа подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности, имеют одинаковое численное значение.

В соответствии с третьей теоремой для того чтобы подобие двух явлений имело место, необходимо обеспечить геометрическое подобие систем (геометрические условия однозначности), подобие полей вели-чин, определяющих явление на границах системы (граничные условия однозначности), и подобие параметров, характеризующих физические свойства теплоносителя (физические условия однозначности). Для нестационарных процессов дополнительно необходимо иметь подобие явлений в начальный момент времени и подобное изменение граничных условий во времени (временные условия однозначности).

Таким образом, для установления факта подобия двух явлений нет необходимости проверять подобие параметров (скорости, температуры и т. п. ) во всех точках рассматриваемых систем. Достаточно установить подобие полей этих величин на границах систем, а подобие во всем объеме установится как следствие подобия на границах.

Третья теорема подобия позволяет установить границы применимости полученных опытным или расчетным путем зависимостей. С помощью этой теоремы можно выделить группу явлений, на которую распространяются полученные в результате опыта или численного расчета уравнения подобия.

Таким образом, теория подобия дает способ получения обобщенных формул на основе опытного или численного исследования явлений и устанавливает границы возможного использования этих зависимостей.

Следует заметить, что в виде уравнений подобия удобно представлять также и формулы, полученные в результате интегриро-вания дифференциальных уравнений

Уравнения подобия всегда представляют в виде зависимости между каким-либо определяемым числом подобия и другими определяю-щими числами подобия.

При изучении теплоотдачи число Нуссельта в уравнении подобия всегда является определяемым (искомым), так как в него входит общая характеристика интенсивности теплоотдачи – коэффициент теплоотдачи α. Числа подобия, входящие в правую часть уравнения подобия, учитывают влияние различных факторов на коэффициент теплоотдачи и являются определяющими.

Таким образом, чтобы в результате опытного исследования стационарного процесса конвективного теплообмена получить формулу, пригодную для оценки не только исследованных явлений, но и всех явлений, подобных исследованным, результаты опытов необходимо представить в виде зависимости:

 

                                     Nu = f (Re, Gr, Pr).                                   (3. 21)

 

Число Рейнольдса отражает влияние вынужденного движения теплоносителя, число Грасгофа влияние свободного движения и критерий Прандтля – влияние физических свойств теплоносителя (жид-кости или газа) на коэффициент теплоотдачи.

Свободное движение всегда сопутствует явлению теплоотдачи, но при вынужденном движении теплоносителя и развитом турбулентном режиме оно имеет второстепенное значение и не отражается на величине коэффициента теплоотдачи. Поэтому для таких задач уравнение подобия не включает число Грасгофа:

 

                                          Nu = f (Re, Pr).                                    (3. 22)

 

При свободном движении теплоносителя, когда вынужденная конвекция отсутствует, в уравнение подобия не входит число Рейнольдса:

                                            Nu = f (Gr, Pr).                                  (3. 23)

 

Число Прандтля для газов изменяется не существенно в значительном диапазоне изменения температуры. Поэтому уравнение подобия для конкретных газов может не включать числа Pr, его среднее значение войдет в постоянную уравнения. Например, для воздуха при турбулентном режиме движения можно записать:

 

                                                Nu = f (Re).                                  (3. 24)

 

Для удобства обработки опытных данных уравнение подобия принято представлять в виде степенной функции:

 

                                             Nu = с Re^k Gr^m Prⁿ,                            (3. 25)

 

где с, к, m, n – опытные коэффициенты.

Характерный линейный размер системы ℓ, входящий в числа подобия, называется определяющим. Теория подобия не дает одно-значного ответа на вопрос, какой размер должен быть принят за оп-ределяющий. Если в условия однозначности входит несколько раз-меров, то за определяющий принимается тот, который в наибольшей мере влияет на процесс конвективного теплообмена. Для труб круглого сечения таким определяющим линейным размером является внутренний диаметр трубы. Для каналов некруглого сечения вместо диаметра берется так называемый эквивалентный диаметр

 

                                                            d_экв = 4F/P,                               (3. 26)

 

где F – площадь поперечного сечения канала;

P – полный (смоченный) периметр сечения независимо от того,

       какая часть этого периметра участвует в теплообмене.

При поперечном обтекании трубы и пучка труб за определяющий размер берется наружный диаметр трубы; при обтекании плиты – ее длина по направлению потока.    

 Следует иметь в виду, что для каждого уравнения подобия вид определяющего размера специально оговаривается.

Теория подобия не дает универсальных рекомендаций к выбору и определяющей температуры – температуры, при которой выбираются физические параметры теплоносителя, входящие в числа подобия. В системе, где происходит конвективный теплообмен, температура теплоносителя изменяется как вдоль омываемой поверхности, так и в поперечном направлении. В соответствии с температурой изменяются и физические свойства теплоносителя. При определении значений чисел подобия в процессе обработки опытных данных невозможно учесть всю совокупность возможных значений физических параметров теплоно-сителя в системе. Поэтому условно эти физические параметры выбира-ются по какой-либо одной температуре, а влияние этих пара-метров в соответствии с температурным полем всей системы учитыва-ется специальным членом в уравнении подобия.

В качестве определяющей можно выбрать среднюю температуру теплоносителя Т_ж, среднюю температуру стенки Т_ст или среднюю температуру пограничного слоя Т_m

 

 

                                        Т_m = (Т_ст + Т_ж)/2.                                    (3. 27)

 

Наиболее часто в качестве определяющей принимается средняя температура теплоносителя.

При использовании уравнений подобия в качестве определяющих должны быть выбраны та же температура и тот же размер, которые использовались при обработке опытных данных. Числа подобия в уравнении снабжаются индексами, указывающими вид определяющей температуры. Например, если за определяющую выбрана температура Т_ж, числа подобия имеют индекс ж.

 

                                   

                                           

                                     Контрольные вопросы

1. Опишите явление конвективного теплообмена (теплоотдачи).
2. Что называется ламинарным и турбулентным пограничным слоем?
3. Что называется тепловым пограничным слоем?
4. Что называется вынужденной конвекцией?
5. Что называется свободной (естественной) конвекцией?
6. Что называется динамическим и кинематическим коэффициентом вязкости?
7. Как влияет вязкость теплоносителя на интенсивность теплоотдачи?
8. Как влияет теплоемкость теплоносителя на интенсивность теплоотдачи?
9. Как влияет направление теплового потока (от стенки к теплоносителю или наоборот) на интенсивность теплоотдачи?
10. Какую роль в процессе теплоотдачи играет форма обтекаемой поверхности?
11. Формула Ньютона для теплового потока при теплоотдаче.
12. Что представляет собой коэффициент теплоотдачи?
13. По какой формуле определяется среднее значение температуры стенки при теплоотдаче?
14. По какой формуле определяется среднее значение температуры теплоносителя при теплоотдаче?
15. От каких влияющих факторов зависит коэффициент теплоотда-чи?
16. Какие законы выражают дифференциальные уравнения конвек-тивного теплообмена?
17. Дифференциальное уравнение неразрывности (сплошности) для потока несжимаемой жидкости.
18. Закон трения Ньютона.
19. Геометрические и физические условия однозначности для процесса теплоотдачи.
20. Временные и граничные условия однозначности для процесса теплоотдачи.
21. В чем заключается гипотеза Прандтля в отношении пограничного слоя?
22. Дайте объяснение идее Рейнольдса о единстве механизмов переноса теплоты и количества движения в потоке жидкости.
23. В чем заключается ценность теоретических методов исследования теплоотдачи и какова точность полученных результатов?
24. Почему для исследования конвективного теплообмена применяют теорию подобия?
25. В чем заключается сущность теории подобия физических явлений?
26. К каким явлениям применимо понятие подобия?
27. Что является обязательной предпосылкой подобия физических явлений?
28. Какие величины можно сопоставлять при анализе подобных явлений?
29. Три теоремы теории подобия.
30. Что позволяет установить третья теорема подобия?
31. Из каких дифференциальных уравнений получают числа подобия?
32. Какие числа подобия получают из дифференциальных уравнений конвективного теплообмена и что характеризует каждый из них?
33. Какое число подобия при изучении теплоотдачи всегда является определяемым (искомым) и почему?
34. Какое уравнение называется уравнением подобия?
35. Какие числа подобия входят в уравнение подобия при вынужденном движении теплоносителя?
36. Какие числа подобия входят в уравнение подобия при свободном движении теплоносителя?
37. Какое число подобия не включается в уравнение подобия для конкретных газов, а его среднее значение войдет в постоянную уравнения?
38. В виде какой функции принято представлять уравнение подобия?
39. Какой линейный размер системы принимается за определяющий?
40. Как определяется эквивалентный диаметр для каналов некруглого сечения?
41. При какой температуре выбираются физические параметры теплоносителя, входящие в числа подобия?
42. Что означают индексы, которыми снабжаются числа подобия, входящие в конкретное уравнение подобия?

 

 

                  

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: