Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Закон сохранения энергии в механике

Рассмотрим с-му n мат. точек. Пусть m_i, v_i соответственно масса и скорость. Пусть на i-ю точку со стороны k-ой действует внутренняя консервативная сила f_ik. Пусть F_i - равнодействующая внешних консервативных сил, и F_i^* - это равнод-я внешних неконсервативных сил на i-ю точку.

По 2-му закону Ньютона имеем ур-е дв-я с-мы:

Умножим обе части ур-я (1) на выр-е v_idt=dr_i, и просуммируем по всем точкам с-мы:

Выр-е слева в ф-ле (2) – это и есть изменение E_k. 1-е слагаемое справа в (2) есть работа внутр. консервативных сил и она равна убыли E_p взаимодействия:

2-е слагаемое в (2) есть работа внеш. консерват. сил и она равна убыли E_p c-мы во внешнем поле с-мы. Последнее слагаемое в (2) есть работа на с-мой внеш. неконсерв. сил. С учетом вышесказанного:

Пусть внешних сил нет:

d()=0

– закон сохранения энергии (зсэ)

Полная мех. энергия замкнутой консерват. с-мы тел, на кот. действуют лишь консерв. силы, остается постоянной. ЗСЭ – общефизический закон.

ЗСЭ связан с однородностью времени, т.е. симметрии по отношению к сдвигу времени. Однородность времени не означает независимость закона физ. явлений от выбора начала отсчета времени. Такая инвариантность относительно сдвига времени означает ненаблюдаемость абсол. времени.

11^о. Закон сохранения момента импульса.

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси Z, тогда элементарная работа всех внешних сил равна приращению Е_К вращающегося тела (по з-ну сохранения Е), т.е.:

dA = dE_K

dA = M_Z*dφ

E_K= I_z*ω²/2; I_z = const

M_Z*dφ = I_z*ωdω||: dt

M_Z*(dφ/ dt) = I_z*ω(dω/dt)

M_Z = I_z*(dω/dt)

M_Z= d(I_z*ω)/dt

M_Z = dL_Z/dt

Пусть внешних сил нет, тогда M_Z = 0, поскольку моменты внутренних сил (3-ий з-н Ньютона) взаимно скомпенсированы:

M_Z = 0; dL_Z/dt = 0; L_Z = const (з-н сохранения момента импульса).

Суммарный момент импульсов замкнутой системы тел (частиц) сохраняется.

I₁*ω₁ = I₂*ω₂

З-н сохранения импульса связан с изотропностью пространства, т.е. симметричностью пространства, означает равноправие всех пространственных направлений.

Поворот в изотропной системе пространства как целого не меняет свойств системы и з-нов её движения.

12^о. Движение тела переменной массы.

Получим уравнение движения ракеты (уравнение Мещерского):

Масса ракеты m меняется со временем. Пусть момент времени t, скорость и масса m. По истечении времени dt, масса ракеты уменьшится и станет (m - dm), где dm – масса сгоревшего топлива, скорость возрастёт и станет , _отн– скорость истекающе-сгорающего топлива относительно ракеты.

Изменение импульса системы равно конечному импульсу минус начальный импульс m .

ракета топливо

||: dt

- уравнение Мещерского

- сила действия на ракету

- уравнение Мещерского

Спроектируем уравнение Мещерского на направление движения ракеты, тогда получим:

= 0

||:

Проинтегрируем:

, = const

Или спотенцируем:

Пусть в момент времени t = 0, скорость ракеты равна 0, а масса m ₀:

- формула Циолковского

Для химического топлива скорость сгорания: = 4 км/с

Первая космическая скорость: = 8 км/с

13^о. Кинематика гарманических колебаний

Колебание – движение или процессы отличающиеся повторяемостью во времени. Колебания физич-ой велечины х называются гарманическими, если она изменяется со временем по з-ну cos или sin, т.е.:

х = Аcos(ωt + φ_o)

A > 0 – амплитуда – максимальное значение колеблющейся величины х.

ω – круговая, угловая, циклическая частота.

t – текущее время (начало отсчёта времени определяет φ_o – начальная фаза).

(ωt + φ_o) – фаза гарманических колебаний.

При заданной амплитуде А фаза однозначно определяет велечину х.

Начальная фаза и фаза измеряются в рад.

- А≤ х ≤ А

Т – период колебаний – промежуток времени, по истечении которого колебания повторяются, а фаза получает приращение 2π.

ω(t + Т) + φ_o = ωt + φ_o + 2π

ωТ = 2π

Величина обратная периоду:

ν = 1/Т – частота колебаний – число колебаний за единицу времени.

[ν] = Гц (герц)

ГК графически изображаются методом вращения вектора амплитуды или иначе методом векторных диаграмм.

Пусть тМ вращается по окружности радиуса А с постоянной угловой скоростью ω:

Коор-ты тМ меняются по гармоническому з-ну: х = Аcos(ωt + φ_o).

14^о. Гармонический осциллятор.

Получим дифференциальное уравнение описывающее систему совершающую ГК. Для этого вычислим 1-ую и 2-ую производные по времени от ГК величины х:

(1) х = Аcos(ωt + φ_o)

(2)

(3)

(*) - уравнение гармонического осциллятора.

Система, поведение которой описывает выражение (*) наз-ся гармоническим осциллятором.

Решением уравнения (*) является выражение:

х = Аcos(ωt + φ_o)

Покажем, что на тело совершающее ГК действует квазиупругая сила описываемая з-ном Гука:

F = - kx

F = ma

a из (3): F = - m = - kx, где k = m

Найдём полную механическую энергию гармонического осциллятора:

- з-н сохранения энергии для гармонического осциллятора.

Энергия ГК величины пропорциональна квадрату амплитуды: E ~ А²

Гармонический осциллятор является маятником.

15^о. Примеры гармонических осцилляторов.

Маятники: пружинный, математический, физический.

Пружинный маятник – тело с массой m соединённое с пружиной и совершает колебания при выведении из положения равновесия при действии силы Гука.

F_упр = - kx

По II-му з-ну Ньютона имеем уравнение движения этого маятника:

ma = F

m = - kx ||: m

;

х = Аcos(ωt + φ_o)

Математический маятник – математическая точка (m), подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиною l и совершает колебания под действием силы тяжести при выведении точки из положения равновесия.

Основное уравнение динамики вращательного движения для математического маятника.