6.1 Аналитический расчет трехшарнирной арки

Определение опорных реакций

При действии внешней нагрузки на трехшарнирную арку (рис. 6. 3, а) в каждой ее опоре возникает по две реакции. Всего, таким образом, имеется четыре неизвестные реакции – две вертикальные R_A, R_B и две горизонтальные Н_A и Н_B. Для расчета трехшарнирной арки кроме трех уравнений равновесия, которые дает статика для системы сил, расположенной в одной плоскости, можно составить четвертое уравнение, основанное на том, что сумма моментов всех сил, приложенных по одну сторону от ключевого шарнира С, равна нулю. Действительно, это уравнение для изгибающего момента в поперечном сечении, а в шарнире момент отсутствует.

Для трехшарнирной арки (рис. 6. 3, а) при определении реакций будут записаны следующие уравнения:

Sm_B = 0,          - R_Al + P₁(l – a₁) + P₂a₂ = 0,                    (а)

R_A = [P₁(l – a₁) + P₂a₂]/l.

Sm_A = 0,            R_Bl – P₁a₁ – P₂(l – a₂) = 0,                         (б)

R_B = [P₁a₁ + P₂(l – a₂)]/l.

Уравнения (а) и (б) для вычисления вертикальных реакций имеют тот же вид, что и уравнения в балочной системе. Для вычисления распора запишем следующие уравнения:

Sx = 0, H_A – H_B = 0,    H_A = H_B = H.

Sm_C^пр = 0,   R_Bl₂ – P₂(l₂ – a₂) – H_Bf = 0,                  (в)

H_B = H = [R_Bl₂ – P₂(l₂ – a₂)]/f, или:

                                                                           (6. 1)

В выражении (6. 1) М_С^бал представляет собой изгибающий момент в сечении С в балке, перекрывающей тот же пролет и воспринимающей заданную на трехшарнирную арку вертикальную нагрузку (рис. 6. 3, б). Из формулы (6. 1) следует, что величина распора Н обратно пропорциональна стреле подъема арки f.

 

Определение внутренних усилий в арке

от вертикальной нагрузки

Действующие в поперечных сечения арок напряжения приводятся к трем внутренним усилиям – изгибающему моменту М, поперечной Q  и продольной N силам.

При действии на арку только вертикальных нагрузок (рис. 6. 4, а) изгибающий момент в сечении с абсциссой х равен:

M_x = R_Ax – P₁(x - a₁) – P₂(x - a₂) – Hy,

или:

М_x = M_x^бал - H∙ y,                                          (6. 2)

где М_х^бал — изгибающий момент в балке (рис. 6. 4, б) от той же нагрузки в сечении с абсциссой х (так называемый балочный момент). Формулой (6. 2) удобно пользоваться при построении эпюры моментов в арке. Значения М_х^бал непосредственно берут из эпюры моментов, построенной для балки. Величину распора находят по формуле (6. 1).

.

Полученная формула для М_х наглядно показывает уменьшение изгибающего момента в арке по сравнению с балкой, что подтверждает экономичность арочной конструкции по сравнению с балочной. Это видно из построений на рис. 6. 4, г, где показано совмещение балочной эпюры моментов и кривой, соответствующей слагаемому Н∙ у в формуле (6. 1). На рис. 6. 4, д показан вид эпюры моментов М_х в арке

Аналогичные формулы можно получить для поперечной Q_x и продольной N_x сил. Для этого спроецируем все приложенные слева от сечения n – n силы (рис. 6. 4, в) сначала на нормаль к оси арки в сечении с абсциссой х, а затем на касательную к ней:

Q_x = (R_A – P₁ – P₂)cosj_x – Hsinj_x,

 

N_x = + (R_A – P₁ – P₂)sinj_x + Hcosj_x.

Нетрудно убедиться, что величина, стоящая в круглых скобках в записанных выше выражениях, представляет собой величину поперечной силы в балке в сечении с той же абсциссой х; тогда эти формулы примут вид:

Q_x = Q_x^бал cosj_x - Нsinj_x,                                     (6. 3)

 

N_x = Q_x^бал sinj_x + Hcosj_x.                                     (6. 4)

Отметим, что в арке принято считать N > 0 при сжатии.

 

Рациональная ось арки

Из формулы (3. 2) следует, что в том случае, когда очертание оси арки совпадает с очертаниями балочной эпюры моментов М^бал, называемой кривой давления, т. е. если

                                                          (6. 5)

то в такой арке изгибающий момент М_х = 0.

Уравнение (6. 5) называют уравнением рациональной оси арки. На рис. 6. 5, в приведены очертания арок с рациональной осью для различных случаев нагружения.

Пример 6. 1 Для заданной трехшарнирной арки с размерами, показанными на рис. 6. 6, а, вычислить значения внутренних усилий в сечениях m и n. Построить эпюры внутренних усилий. Уравнение оси арки – квадратная парабола с началом координат в точке А:

, где l = 12 м, f = 4 м.

1. Определяем опорные реакции:

Sm_A = q6× 3 + P∙ 9 – R_B12 = 0. R_B = 6 кН.

Sm_B = q6× 9 + P∙ 3 – R_A12 = 0. R_A = 10 кН.

H = M_C^бал/f = (R_B6 – P∙ 3)/4 = 6 кН.

2. Строим эпюры Q_х^бал и М_х^бал (рис. 6. 6 б, в).

3. По формуле (6. 2) вычисляем значения М_х, получив предварительно ординаты заданных сечений m и n:

 

4. Вычисляем Q_m и Q_n, используя формулу (6. 3)

Q_m=Q_m^балcosj_m - Hsinj_m

Для вычисления тригонометрических функций воспользуемся следующими математическими соотношениями:

;

,

тогда

,   ,

, .

Аналогично:

sinj_n = - 0, 555, cosj_n = 0, 832.

 

 

Подсчитаем значения Q в заданных сечениях:

Q_m = Q_m^балcosj_m - Hsinj_m = 4× 0, 832 – 6× 0, 555 = 0.

В сечении n эпюра Q^бал  (рис. 6. 6, б) имеет разрыв, аналогично будет разрыв и в эпюре поперечных сил арки. Поэтому необходимо подсчитать поперечную силу слева и справа от сечения:

 

Одновременно найдем поперечные силы в опорных сечениях А и В.

Q_A = 10× 0, 6 – 6× 0, 8 = 1, 2 кН; Q_B = -6× 0, 6–6(-0, 8) = 1, 2 кН.

Q_C = - 2× 1 = - 2 кН.

 

5. Вычисляем продольные усилия по формуле (6. 4):

 

N_m = Q_m^балsinj_m + Hcosj_m = 4× 0, 555 + 6× 0, 832 = 7, 218 кН,

N_n^л = (-2)× (- 0, 555) + 6× 0, 832 = 6, 108 кН,

N_n^пр = (- 6)× (- 0, 555) + 6× 0, 832 = 8, 328кН,

В опорных сечениях:

N_A = 10× 0, 8 + 6× 0, 6 = 11, 6 кН,

N_В = (-6)× (-0, 8) + 6× 0, 6 = 8, 4 кН.

6. Сводим полученные значения в таблицу и строим эпюры внутренних усилий в арке (рис. 6. 6, д, е, ж).

 

№ сеч.	х (м)	y (м)	tg φ	sinφ	cosφ	Mб	Н	М	Qб	Qб cosφ	H sinφ	Q	Qб sinφ	H cosφ	N
A			1. 333	0. 8	0. 6						4. 8	1. 2		3. 6	11. 6
m			0. 667	0. 555	0. 83					3. 33	3. 33		2. 22	4. 99	7. 22
C									-2	-2		-2
n(л)			-0. 667	-0. 555	0. 83				-2	-1. 66	-3. 33	1. 66	-1. 11	4. 99	6. 11
n(пр)			-0. 667	-0. 555	0. 83				-6	-4. 99	-3. 33	-1. 69	-3. 33	4. 99	8. 33
B			-1. 333	-0. 8	0. 6				-6	-3. 6	-4. 8	1. 2	4. 8	3. 6	8. 4

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: