Пример 6.2. 6.2 Расчет арок на подвижную нагрузку. 6.2.1 Линии влияния опорных реакций. 6.2.2 Построение линии влияния изгибающего момента

Пример 6. 2

Для заданной трехшарнирной рамы с размерами и нагрузкой, показанными на рис. 6. 7, а, построить эпюры внутренних усилий.

1. Определяем опорные реакции:

Sm_A = - q12× 18 - P∙ 3 + R_B24 = 0. R_В = 10, 25 кН.

Sm_B = q12× 6 + P∙ 21 – R_A24 = 0. R_А = 11, 75 кН.

H = M_C^бал/f = (R_А∙ 12 – P∙ 9)/6 = 8. 5 кН.

2. Строим эпюры Q_х^бал и М_х^бал (рис. 6. 7, б).

3. По формулам (6. 2), (6. 3), (6. 4) вычисляем значения внутренних усилий, используя табличную форму.

                                                  (3. 2)

Q_k=Q_k^балcosj_k - Hsinj_k                                                                          (3. 3)

N_k = Q_k^балsinj_k + Hcosj_k                                                                         (3. 4)

 

В таблицу заносим опорные точки, точки приложения сосредоточенных сил, начала и конца распределенной нагрузки и узлы рамы. В точках приложения сосредоточенных сил в узлах необходимо находить по два усилия (слева и справа от сечения).

 

№ сеч.	х (м)	y (м)	sin φ	cos φ	Mб	Н	М	Qб	Qб cosφ	H sinφ	Q	Qб sinφ	H cosφ	N
A			0. 707	0. 707		8. 5		11. 75	8. 31	6. 01	2. 3	8. 31	6. 01	14. 32
k(л)			0. 707	0. 707	31. 25	8. 5	5. 7	11. 75	8. 31	6. 01	2. 3	8. 31	6. 01	14. 32
k(пр)			0. 707	0. 707	31. 25	8. 5	5. 7	1. 75	1. 24	6. 01	-4. 77	1. 24	6. 01	7. 25
n(л)			0. 707	0. 707	40. 5	8. 5	-10. 5	1. 75	1. 75	6. 01	-4. 77	1. 24	6. 01	7. 25
n(пр)					40. 5	8. 5	-10. 5	1. 75	1. 75		1. 75		8. 5	8. 5
C						8. 5		1. 75	1. 75		1. 75		8. 5	8. 5
m(л)					46. 5	8. 5	-4. 5	-4. 25	-4. 25	-3. 33	-0. 92		8. 5	8. 5
m(пр)			-0. 707	0. 707	46. 5	8. 5	-4. 5	-4. 25	-3. 0	-6. 01	3. 01	3. 0	6. 01	9. 01
B			-0. 707	0. 707		8. 5		-10. 25	-7. 25	-6. 01	-1. 24	7. 25	6. 01	13. 26

 

Используя данные 8, 12 и 15 столбцов строим эпюры внутренних усилий в трехшарнирной раме (рис. 6. 8)

 

 

6. 2 Расчет арок на подвижную нагрузку

 

6. 2. 1 Линии влияния опорных реакций

Для определения вида линии влияния реакции R_А составим следующее уравнение равновесия Sm_B = 0,

 R_А∙ l – P(l – x) = 0.

Тогда линия влияния левой реакции

л. в. R_А = .        (6. 6)

Выражение для линии влияния реакцию R_В  определим из уравнения Sm_A = 0,

R_В∙ l – P∙ x = 0.

В результате:  

л. в. R_В = .    (6. 7)

Линии влияния реакций R_А  и R_В показаны на рис. 6. 8.

Отметим, что линии влияния вертикальных реакций в арке те же, что и в однопролетной балке и в ферме.

Поскольку выражение горизонтальной реакции (распора) связано со значением балочного изгибающего момента в точке С , его линия влияния будет иметь две ветви.

Пусть сила Р = 1 находится справа от точки С. Рассмотрим равновесие левой части арки.

,    R_А∙ l₁ – H∙ f = 0. Откуда

.                               (6. 8)

Получили уравнение правой ветви линии влияния H.

Аналогично получим уравнение левой ветви - сила Р = 1 слева от точки С. , R_В∙ l₂ - H∙ f = 0. Тогда

.                                 (6. 8)

Линия влияния Н показана на рис. (6. 8).

 

6. 2. 2 Построение линии влияния изгибающего момента

Воспользуемся выражением (6. 2) для изгибающего момента в арке

M_к = M_к^б – Н∙ у_к.

Очевидно, что справедливо следующее утверждение

л. в. M_к = л. в. M_к^б – (л. в. Н)у_к,

то есть линию влияния момента в арке можно построить методом наложения двух линий влияния - M_к^б и Н∙ у_к. Поступаем следующим образом.

1. Вверх от оси строим линию влияния M_к^б (на рис. 6. 9 показана сплошной линией).

2. На той же оси откладываем ординаты линии влияния Н, умноженные на координату точки «к» у_к(пунктирная линия). Для этого достаточно построить левую ветвь л. в. Н, умножив ее ординаты на у_к, Правая ветвь будет представлена прямой, соединяющей конец левой ветви (проекция т. С) с нулевой точкой на правой опорной вертикали (проекция т. В).

3. В результате получаем разность ординат линий влияния M_к^б и Ну_к (заштрихованная область на рис. 6. 9 и представляет собой линию влияния M_к).

Точка F′ – нулевая точка линии влияния M_к.

Положение нулевой точки F′ можно найти графическим построением на чертеже арки (графически). Нулевое значение M_к получается при положении единичной силы в интервале между сечением «к» и ключевым шарниром С. Так как единичная сила приложена к левому диску арка, линия действия правой реакции В должна проходить через центр ключевого шарнира, поскольку .

Поскольку единичная сила правее сечения «к», то для выполнения условия, что M_к = 0, реакция А должна действовать по линии Ак. Проводим линии Ак и ВС, под точкой пересечения которых и находится нулевая точка F′ .

Для построения линии влияния M_к способом нулевой точки откладываем на левой опорной вертикали ординату 1∙ а_к, далее соединяем ее с нулевой точкой F′ - получаем 1-ю правую ветвь. Проводя вертикаль через шарнир С получаем границу 1-й и 2-й правых ветвей (то есть правая ветвь представляет собой ломаную линию). Левую ветвь находим по 1-й правой ветви, соединяя ее начало с левой опорной точкой.

Ординату нулевой точки можно определить аналитически. Она равна (без вывода)

                                           (6. 9)

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: