7.3 Работа внутренних сил. Действительная работа внутренних сил.. Возможная работа внутренних сил.

7. 3 Работа внутренних сил

 

В процессе нагружения упругой системы работу совершают не только внешние, но и внутренние силы, которые развиваются во всех деформируемых элементах. Поскольку в упругой системе не происходит потерь энергии на преодоление трения, выделения тепла и т. п., действительная работа внешних сил A равна и противоположна по знаку действительной работе внутренних сил W, что является выражением закона сохранения энергии:

A + W = 0или

A = - W.                                                           (7. 6)

Можно сказать, что работа, произведенная внешними силами, накапливается (аккумулируется) в упругом теле в виде энергии деформаций. Поэтому работа внутренних сил W, взятая с обратным знаком и характеризующая эту энергию, носит название потенциальной энергии деформаций упругой системы U.      

U = A = - W.                                                        (7. 7)

 

Действительная работа внутренних сил.

 

Для определения действительной работы внутренних сил (потенциальной энергии деформаций) выделим из заданной системы бесконечно малый элемент длиной dx (рис. 7. 10, а) и приложим к нему усилия M, Q N, действующие на него со стороны отброшенных частей системы, и рассмотрим вызванные этими усилиями деформации (рис. 7. 10. б).

 

Действительная работа внутренних усилий элемента, равных по величине и обратных по знаку усилиям M, Q N, составит:

Знак «минус» объясняется здесь тем, что направление внутренних усилий элемента dx противоположно направлению его деформаций, в результате чего работа внутренних сил при загружении упругого тела всегда отрицательна.

Величины деформаций элемента определяются в соответствии с законом Гука по формулам

      (7. 8)

 

где E и G – модули упругости материала соответственно 1 –го и 2- го рода,  I и A – соответственно момент инерции и площадь поперечного сечения рассматриваемого стержня, m - коэффициент, учитывающий форму сечения стержня.

Суммируя элементарные работы по длине стержня, а затем по всем стержням системы, окончательно для работы внутренних сил системы получим:

 

                (7. 9)

 

Анализируя выражение (7. 9), можно прийти к заключению, что потенциальная энергия деформации U = - W  (см. выражение 7. 7) всегда положительна, так как она выражается через квадраты внутренних усилий. По этой причине к вычислению потенциальной энергии неприложим принцип независимости действия сил, т. е. потенциальная энергия, вызванная действием группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных каждой из сил в отдельности. Наконец, можно видеть, что в упругой системе суммарная работа внутренних (а также и внешних) сил определяется лишь конечным состоянием системы и не зависит от того, каким способом она пришла в это состояние (так как от этого не зависят значения M, Q, N).

 

Возможная работа внутренних сил.

Рассмотрим упругую систему, нагруженную произвольной нагрузкой (рис. 7. 11, а). Будем считать такое нагруженное состояние 1-м. На некоторый элементарный участок этой системы dx в общем случае будут действовать внутренние усилия N₁, Q₁, M₁.

Пусть та же упругая система нагружена другой нагрузкой, т. е. находится во 2-м состоянии (рис. 11, б). На тот же элементарный участок будут действовать свои внутренние усилия N₂, Q₂, M₂.

Элементарный участок dх при этом получит от внутренних усилий соответствующие перемещения:

которые для системы в 1-м состоянии будут возможными перемещениями.

Работа сил первого состояния N₁, Q₁, M₁ на возможных перемещениях j₂, D_x2, D_x2 будет возможной работой внутренних сил, которую можно записать как:

.     (7. 10)

 

Если за исходную принять 1-ю систему, то получим

.

Очевидно, что выполняется теорема Бетти о взаимности возможных работ (7. 4).

W₂₁ = W₁₂.

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: