8.2  Определение перемещений в стержневых системах

8. 2  Определение перемещений в стержневых системах

 методом Мора

 

Метод Мора это универсальный метод, который заключается в использовании известной теоремы Мора о равенстве возможной работы внешних и внутренних сил (7. 12) и используется для определения линейных перемещений и углов поворота в любой стержневой системе от произвольной нагрузки. Метод широко применяется и при расчете статически неопределимых систем.

Пусть 1-е (грузовое) состояние представляет собой нагруженную стержневую систему заданной нагрузкой, а 2-е (единичное) состояние вызвано единичной нагрузкой Р = 1, действующей в направлении искомого перемещения. Тогда в соответствии с указанной выше теоремой получаем выражение, которое называют интегралом Мора (8. 1)

          (8. 1)

где: D ¾ искомое перемещение; М_р, Q_p, N_p ¾ внутренние усилия в стержневой системе, вызванные заданной внешней нагрузкой; М₁, Q₁, N₁ ¾ внутренние усилия в стержневой системе, вызванные единичной нагрузкой, приложенной по направлению искомого перемещения в той точке (сечении), где определяется перемещение (при нахождении линейного перемещения прикладывается единичная сила Р = 1, при вычислении угла поворота прикладывается единичный момент m = 1); EI, EA, GA ¾ жесткости при изгибе, растяжении (сжатии) и сдвиге соответственно; m ¾ поправочный коэффициент, учитывающий распределение касательных напряжений в поперечном сечении; l ¾ длина участка.

Суммирование производится по всем участкам стержневой конструкции.

При расчете балок средней и большой длины и рамных конструкций влиянием продольной и поперечной сил (вторым и третьим членами формулы (4, 1)) можно пренебречь в силу их малого влияния на деформации изгиба. В этом случае интеграл Мора примет вид:

                                                                         (8. 2)

При расчете стержней, работающих только на растяжение (сжатие), и ферм в (4, 1) останется только второй интеграл.

                                  (8. 3)

В конструкциях, испытывающих значительные поперечные силы (например, в коротких балках), необходимо учитывать влияние поперечных сил.

 

Пример 8. 2. Вычислить прогиб и угол поворота свободного конца консоли (т. В) (рис. 8. 9) от действия распределенной нагрузки.

1. В данной задаче один участок. Запишем для него выражение изгибающего момента в грузовом состоянии (рис. 8. 9, а):

2. Для вычисления прогиба свободного конца (т. В) прикладываем в этой точке единичную силу Р = 1, т. е. создаем 1-е единичное состояние (рис. 8. 9, б) и записываем выражение для единичного момента

 

3. Записываем и вычисляем интеграл Мора, используя выражение (8. 2):

 

Знак «+» у D говорит о том, что перемещение происходит по направлению единичной силы Р=1.

4. Для вычисления угла поворота прикладываем в заданном сечении (т. В) единичный момент, т. е. создаем второе единичное состояние (рис. 8. 9, в),  и записываем выражение для единичного момента М₂ на данном участке:

 

М₂ = m = 1.

 

5. Вычисляем интеграл Мора при 2-м единичном нагружении:

 

 

Знак «минус» говорит о том, что перемещение (поворот сечения С) происходит против направления единичного момента m = 1, т. е. по часовой стрелке.

 

 

Пример 8. 3. Определить вертикальное перемещение 3 узла фермы от заданной нагрузки (рис. 8. 10). Жесткость стержней ЕА = const.

 

 

Для определения перемещений в данной стержневой системе необходимо воспользоваться формулой Мора в виде:

 

                                        (8. 3)

 

1. Определяем усилия в стержнях фермы N_p от заданной нагрузки. (рис. 8. 10, а). Вначале определим реакции.  В силу симметрии:

R_A = R_B = 1. 5 P= 9 кН.

 Вырезая узел 1 и узел 5 можно увидеть, что

N₁₂ = N₅₆ = - 1. 5 P = - 9 кН,

N₁₃ = N₃₅ = 0.

Вырезая узел 4, получим N₃₄ = P.

Далее, вырежем узел 2 (рис. 8. 11). (sina = 0. 6, cosa = 0. 8)

Sy = 0, тогда:

- P – N₁₂ – N₂₃sina = 0.

;

 Sx = 0, или:

N₂₄ + N₂₃cosa = 0. N_{24 =} - 5∙ 0. 8 = - 4 кН.

 

В силу симметрии  N₃₆ = N₂₃ = 5 кН, N₄₆ = N₂₄ = - 4 кН.

2. Определяем усилия в стержнях фермы от единичной нагрузки, действующей в направлении искомого перемещения (рис 8. 10, б). Определяем реакции.

R_A = R_B = 0. 5 P= 0, 5.

Вырезая узел 1 и узел 5 получим

N₁₂ = N₅₆ = 0, 5, N₁₃ = N₃₅ = 0.

 

Вырезая узел 4 получим N₃₄ = 0.

Рассмотрим равновесие узла 2 (рис. 5. 4).

Sy = 0,  – N₁₂ – N₂₃sina = 0.

,  Sx = 0,  N₂₄ + N₂₃cosa = 0.    

N_{24   =} .

В силу симметрии  N₃₆ = N₂₃ = 5 кН, N₄₆ = N₂₄ = - 4 кН.

Для вычисления по формуле (8. 3) удобно полученные значения усилий свести в таблицу.

 

№ стержня	Np (кН)		li	Np∙ ∙ li
1-2	- 9	- 0, 5	1. 5	6, 75
1-3
2-3		5/6	2. 5	10. 42
2-4	- 4	- 4/6		5. 33
3-4	- 6		1. 5
3-5
3-6		5/6	2. 5	10. 42
4-6	- 4	- 4/6		5. 33
5-6	- 9	- 0, 5	1. 5	6, 75
S				45. 01

 

Таким образом,  узел 3 опускается вниз на величину D₃ = 45. 01/EA.

 

 

Обычно, в зависимости от нагрузки и условий опирания, стержневую систему приходится разбивать на несколько участков, и интегрирование по формуле (8. 2) необходимо проводить на каждом участке, что становится весьма трудоемким. В этом случае удобно использовать правило Верещагина для вычисления интеграла Мора (8. 4).

.                              (8, 4)

 

Оно заключается в следующем: если построить грузовую и единичную эпюры М_р и М₁ (рис. 8, 13), то результат их «перемножения» (вычисления интеграла) на отдельном участке равен произведению площади грузовой эпюры w_p на ординату единичной эпюры у_с, взятую под центром тяжести площади грузовой эпюры. При выводе этой формулы было учтено, что единичная эпюра всегда линейна.

Действительно, при EI = const интеграл S можно представить как (рис. 8. 13)

S = .

 

Ординату у₂ можно выразить через абсциссу х: у₂  = х∙ tga,                                                 

тогда

S = .

Учитывая, что  можно записать

S =

Интеграл  - статический момент площади эпюры М_р относительно точки О и равен площади этой эпюры, умноженной на координату х₀,  т. е.    

S = tgα ∙ w_р∙ x₀.

 

В свою очередь, х₀tga = y_c. Следовательно, интеграл S равен

 

S = w∙ у_с

 

Рассмотренное выше правило перемножения эпюр было дано А. Верещагиным в 1925 г.

В том случае, когда обе эпюры прямолинейны (рис. 8. 14) формулу (8. 2) можно представить в виде

.                     (8. 5)

 

Формула (8. 5) получена еще в 1905 г. Мюллером-Бреслау.

 

 

В тех случаях, когда определение положения центра тяжести и площади грузовой эпюры приводит к громоздким вычислениям, проще для «перемножения» эпюр воспользоваться формулой Симпсона (8. 6):

,                     (8. 6)

здесь a, b, c, d ¾ ординаты на грузовой и единичной эпюрах в начале и конце участка длиной l (рис. 8, 15); e, f ¾ ординаты в середине участка.

Покажем примеры применения формул графического интегрирования Верещагина (8. 4) и Симпсона (8. 6).

Пример 8. 4 Для заданной балки (рис. 8. 16, а) вычислить прогиб в сечении C и угол поворота сечения В. При определении деформаций воспользоваться методом Мора.

Для вычисления заданных деформаций необходимо построить эпюры изгибающих моментов в грузовом М_р и единичных М₁ и  М₂ состояниях.

1. Рассматриваем грузовое состояние. Запишем выражение для М_р

M_x=0 = 0,

 

Эпюра М_р показана на рис. 8. 16, б.

2. Создаем 1-е единичное состояние - прикладываем в сечении С единичную силу (рис. 8. 16, в) и строим первую единичную эпюру М₁ (рис. 8. 16, г).

3. Для определения прогиба в сечении С перемножаем эпюры М_р и М₁ по правилу Симпсона (8, 6). Поскольку единичная эпюра имеет два участка перемножение эпюр производим на каждом участке ( в силу симметрии эпюр результат умножаем на 2).

 

4. Создаем 2-е единичное состояние - прикладываем в сечении В единичный момент (рис. 8. 16, д) и строим вторую единичную эпюру М₂ (рис. 8. 16, е).

5. Перемножаем эпюры М_р и М₂

 

 

При перемножении поставлен знак минус, поскольку ординаты грузовой и второй единичной эпюр отложены в разные стороны. Минус у перемещения означает, что поворот сечения В происходит в направлении, обратном направлению единичного момента, т. е. против часовой стрелки.

 

Пример 8. 5  Для заданной балки (рис. 4. 17, а) вычислить прогибы в сечениях С и D, показать вид изогнутой линии. При определении деформаций воспользоваться методом Мора.

Для определения деформаций в заданных сечениях необходимо построить грузовую эпюру М от заданной нагрузки Р и q, а также единичные эпюры М_i, полученные от воздействия на балку соответствующих единичных нагрузок Р_i.

Не останавливаясь на порядке построения грузовых эпюр М и Q, покажем их в окончательном виде (рис. 4. 17, б). Для построения единичных эпюр создаем единичные состояния (заданная балка нагружается только соответствующей единичной силой, приложенной в том сечении, в котором определяется перемещение). В соответствии с правилами строим эпюры М₁ от силы Р₁=1, приложенной в точке С, и М₂ от силы Р₂=1, приложенной в точке D. На рисунке единичные состояния и соответствующие единичные эпюры совмещены (рис. 4. 17, в и г).

Перемножение эпюр производим по правилу Симпсона:

При вычислении у_d перемножение эпюр на участке DА производим по правилу Верещагина (4. 4), на участке АВ ¾ по формуле Симпсона (4. 6).

 

 

На рисунке рис. 8. 17, д показана изогнутая ось балки, соответствующая вычисленным перемещениям и эпюре М_р.

 

Пример 8. 6   Вычислить горизонтальное перемещение узла D в трехшарнирной раме постоянной жесткости (рис. 8. 18, а). Воспользуемся методом Мора.

 

1. Строим грузовую эпюру М_р  для грузового состояния(рис. 8. 18, б). Вначале необходимо определить опорные реакции, для чего записываем соответствующие уравнения равновесия.

Sm_A  = 0, - P∙ 3 + R_B∙ 3 = 0, R_B = 10 кН.

Sm_С^пр = 0, - Н_В∙ 3 + R_B∙ 1 = 0, Н_B = 10/3 кН.

Sm_В  = 0, - P∙ 3 + R_А∙ 3 = 0, R_А = 10 кН.

Sm_С^лев = 0, - Н_А∙ 3 + R_А∙ 2 = 0, Н_А = 20/3 кН.

Проверка:  Sх  = 0.

При построении эпюры М_р  используем методику построения эпюр в ломаном стержне

2. Строим единичную эпюру моментов М₁ от действия горизонтальной единичной силы, приложенной в узле D (рис. 8. 19, а ).

Sm_A  = 0, - P∙ 3 + R_B∙ 3 = 0, R_B = 1.

Sm_С^пр = 0, - Н_В∙ 3 + R_B∙ 1 = 0, Н_B = 1/3 кН.

Sm_В  = 0, - P∙ 3 + R_А∙ 3 = 0, R_А = 1 кН.

Sm_С^лев = 0, - Н_А∙ 3 + R_А∙ 2 = 0, Н_А = 2/3 кН.

Эпюра М₁ показана на рис. 8. 18, б.

 

 

В связи с простым очертанием эпюр М_р и М₁ перемножение эпюр на стойках производим по правилу Верещагина, а в ригеле по правилу Симпсона

 

Если принять, что жесткость ригеля больше жесткости стоек  (пусть EI_р = 4EI_ст ), то:

Увеличение жесткости ригеля в 4 раза привело к уменьшению перемещения узла D на 28, 3%.

Представленные выше примеры показывают, что метод Мора достаточно прост для определения перемещений в заданных сечениях в любых стержневых системах.

9 Список рекомендуемой литературы

 

1.  Саргсян А. Е. и др. Строительная механика. М.: Высш. шк., 2000. 416 с.

2. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. М.: Высш. шк., 2010. 607 с.

3. Смирнов А. В., Иванов С. А., Тихонов М. А. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1984. 210 с.

4. Снитко Н. К. Строительная механика. М. Высш. шк. 1972. 488 с.

5. Киселев В. А. Строительная механика. Общий курс. М.: Стройиздат, 1986. 520 с.

6. Леонтьев Н. Н., Соболев Д. Н., Амосов А. А. Основы строительной механики стержневых систем. М.: Изд. АСВ, 1996. 541 с.

7. Варданян Г. С. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Изд. АСВ, 1995. 572 с.

8. Сесюнин Н. А. и. др. Примеры решения типовых задач по строительной механике. Методические указания. М., Изд. МГОУ, 1993, 116 с.

 

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: