 |
7.4 Теорема о равенстве возможных работ внешних и внутренних сил.
|
|
|
|
7. 4 Теорема о равенстве возможных работ внешних и внутренних сил.
В основе доказательства лежит принцип возможных перемещений для упругих систем: «Для неподвижной упругой системы сумма работ всех сил, находящихся в равновесии на любых возможных малых перемещениях равна нулю». Это является необходимым и достаточным условием равновесия системы. Для деформируемой системы следует учитывать работу как внешних, так и внутренних сил.
Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 7. 12).
Возможная работа внешних сил составит
A12 = P1 
+ P2 +... + Pn 
Возможная работа внутренних сил будет
.
В соответствии с теоремой о равенстве возможных работ можем записать
A12 + W12 = 0 (7. 11)
или
(7. 12)
Выражение (7. 12) носит название теоремы Мора.
8 Расчет на прочность и жесткость ломаных стержней
8. 1 Построение эпюр внутренних усилий в раме.
Рамой называется ломаный стержень, состоящий стоек и ригелей, соединенных жесткими или шарнирными узлами (рис. 8. 1).
В плоских рамах, в отличии от балок, возникают три внутренних усилия: М – изгибающий момент, Q – поперечная сила и N – продольная сила, которые определяются методом сечений. Напомним, что изгибающий момент в сечении равен сумме моментов всех сил, приложенных к оставшейся части, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения. Поперечная сила равна сумме проекций тех же сил на поперечную ось стержня, а продольная сила равна сумме проекций этих же сил на продольную ось стержня.
Порядок построения эпюр:
1. Определяются опорные реакции (для консольных стержней (рис. 8. 1, б) можно обойтись без определения реакций).
|
|
|
2. Рама разбивается на участки. Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил или моментов, начало и конец распределенной нагрузки, узлы рамы.
3. Для каждого участка записываются выражения для внутренних усилий, производится вычисление этих усилий в пределах участка.
4. Выбирается масштаб эпюр таким образом, чтобы наибольшая ордината не превышала 1/3 ÷ 1/4 габарита рамы, и строятся эпюры M, Q, N. Эпюры Q, N строятся в одном масштабе.
5. Делается проверка построенных эпюр на соответствие приложенной нагрузки, по равновесию узлов рамы и рамы в целом.
Правила знаков, применяемые при построении эпюр внутренних усилий:
Пример 8. 1 Построить эпюры внутренних усилий в трехшарнирной раме (рис. 8. 2).
|
|
1. Обозначим в соответствии с видом опор опорные реакции (рис. 8. 3) и определяем их значение, используя уравнения равновесия.
Σ mA = 0, - q··5∙ 2. 5 + RB·6 = 0. RB = 6. 25 кН.
Σ mВ = 0, - q·5·2. 5 - RА·6 = 0. RА = - 6. 25 кН.
Меняем направление реакции RА и считаем ее положительной (RА = 6, 25кН) и направленной в низ.
Учитывая, что в шарнире С изгибающий момент отсутствует, можно записать:
Σ mCпр = 0. RB·4 - HB·5 = 0, HB = 5 кН.
Σ mCлев = 0. RА·2 + q·5·2. 5 – HA·5 = 0, HA = 10 кН.
Проверка реакций.
Σ х = 0. q·5 - HA - HB = 0.
Σ y = 0. - RA + RB = 0.
2. Обозначаем участки (рис. 8. 4). В качестве «оставшейся части» оставляем ту часть рамы, к которой приложено меньше усилий.
3. Записываем выражения для внутренних усилий.
1-й участок, 0 < х1 < 5 м.
N1 = RA = 6. 25 кН.
Q1 = HA - q∙ x1, Qx=0 = HA = 10 кН, Qx=5 = HA = 10 - 3∙ 5 = - 5 кН.
М1 = - HA∙ x1 + q∙ x1∙ x1/2. Получили уравнение квадратной параболы. Для ее построения необходимо вычислить три значения момента.
Мх =0 = 0, Мх =5 = - 10∙ 5 + 3∙ 52/2 = - 12, 5 кНм,
Мх =2, 5 = - 10∙ 2, 5 + 3∙ (2, 5)2/2 = - 15, 6 кНм.
2-й участок, 0 < х2 < 6 м.
N1 = - HB = - 5 кН.
Q1 = - RB = - 6. 25 кН.
М1 = - HB∙ 5 + RB∙ x2. Мх =0 = - 25 кНм, Мх =6 = - 25 + 6, 25∙ 6 = 12, 5 кНм,
|
|
|
2-й участок, 0 < х3 < 5 м.
N1 = - RB = - 6. 25 кН.
Q1 = HB = 5 кН.
М1 = - HB∙ x3. Мх =0 = 0, Мх =5 = - 25 кНм,
4. Строим эпюры (рис. 8. 6)
|
|
5. Проверяем равновесие узлов. Вырежем поочередно узлы рамы с действующими в их элементах внутренними усилиями, и запишем для них уравнения равновесия (рис. 8. 7). При проверке моментов пунктиром отмечены растянутые волокна.
На рисунке 8. 7 видно, что все уравнения равновесия (Σ х = 0, Σ y = 0, Σ m = 0) для узлов выполняются.
Осуществим проверку равновесия рамы в целом (рис. 8. 8). Для этого восстановим значения реакций, используя эпюры внутренних усилий.
|
|
В точке А вертикальная реакция будет направлена вниз, поскольку левая стойка растянута, а правая реакция (т. В) направлена вверх, т. к. правая стойка сжата.
Обе горизонтальные реакции в опорах ·А и В будут направлены влево, поскольку по знаку эпюры Q (знак «+») они должны вращать элемент по часовой стрелке.
Записываем уравнения равновесия:
Σ х = 0. q·5 - HA - HB = 3∙ 5 – 10 – 5 = 0.
Σ y = 0. - RA + RB = - 6, 25 + 6, 25 = 0.
Σ mA = 0, - q ·5·2. 5 + RB 6 = 3·5·2. 5 – 6. 25·6 =
= - 37. 5 + 37. 5 = 0.
|
|
|
