Активное сопротивление, индуктивность

УДК 621.3.011

Г94

Отрецензировано на кафедре «Теоретическая и общая электротехника» Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева.

 

Гуляев, В.В.

Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока: метод. пособие для студ. оч. и заоч. обуч. спец-ти 180407 «Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики» / В.В. Гуляев, А.А. Кралин, А.С. Репин. – Н. Новгород: Изд-во ФГБОУ ВО «ВГУВТ», 2015. – 40 с.

 

Изложен в краткой форме теоретический материал по основным темам пособия. Рассмотрен символический метод расчета цепей синусоидального тока, показаны примеры построения векторных диаграмм. Приведены энергетические соотношения в цепях с активными и реактивными элементами. Даны разделы, посвященные резонансным режимам в однофазных цепях и особенностям расчета цепей, содержащих индуктивно связанные элементы.

 

Для студентов очного и заочного обучения.

 

 

Работа рекомендована к изданию кафедрой электротехники и электрооборудования объектов водного транспорта (протокол № 11 от 24.05.2012 г.).

 

 

© ФГБОУ ВО «ВГУВТ», 2015

Основные определения. Изображения

Синусоидальных функций времени векторами

На комплексной плоскости

Переменным током называется ток, величина и направление которого изменяются во времени. Широкое применение переменного тока в электроэнергетике объясняется необходимостью централизованного производства электрической энергии и передачи ее на значительные расстояния. Для уменьшения потерь при передаче энергии требуется использование высокого напряжения, а распределение энергии потребителям по условиям безопасности выполняется при сравнительно низком напряжении. Преобразование переменного напряжения выполняется с помощью трансформаторов, обладающих высоким КПД и надежностью. В электроэнергетике России и Европы принята стандартная частота переменных токов 50 Гц, в США и Японии – 60 Гц.

Значение переменного тока в рассматриваемый момент времени называют мгновенным значением и обозначают строчной буквой i. Переменный ток является периодическим, если значения его повторяются через одинаковые промежутки времени:

i(t) = i(t + T).

Наименьший промежуток времени, через который значения переменного тока повторяются, называется периодом. Период T измеряется в секундах. Периодические токи, изменяющиеся по синусоидальному закону, называются синусоидальными.

Мгновенное значение синусоидального тока определяется выражением

,

(1)

где I_m – максимальное или амплитудное значение тока.

Аргумент синусоидальной функции (1) называют фазой. Величину φ, равную фазе в момент времени t = 0, называют начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах. Величину , обратную периоду, называют частотой. Частота f измеряется в герцах.

Величину называют круговой или угловой частотой. Круговая частота измеряется в рад/c.

Амплитудное значение синусоидального тока или напряжения, его фазу и частоту можно измерить с помощью электронного осциллографа. Амперметры и вольтметры электромагнитной и электродинамической систем измеряют действующие значения переменного тока и напряжения.

Действующим значением переменного тока называется среднеквадратичное значение тока за период. Действующее значение тока для синусоидального тока

.

(2)

Аналогично (2) определяются действующие значения ЭДС и напряжений:

, , .

Действующие значения переменного тока, напряжения, ЭДС меньше их амплитудных значений в раз.

Действующее значение синусоидального тока (2) численно равно значению постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, как синусоидальный ток.

Для мгновенных значений переменных токов и напряжений справедливы рассмотренные ранее законы Кирхгофа.

Алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю (первый закон Кирхгофа):

(3)

Алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС всех источников напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на элементах этого контура (второй закон Кирхгофа):

(4)

При расчете электрических цепей часто приходится складывать или вычитать величины токов или напряжений, являющиеся синусоидальными функциями времени. Графические построения или тригонометрические преобразования в этом случае могут оказаться слишком громоздкими. Задача упрощается, если представить наши синусоидальные функции в векторной форме. Имеем синусоидальную функцию . Известно, что проекция отрезка, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью, на любую линию, проведенную в плоскости вращения, изменяется по синусоидальному закону.

Пусть отрезок прямой длиной I _m начинает вращаться вокруг точки «0» из положения, когда он образует с горизонтальной осью угол ψ, и вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция отрезка на вертикальную ось в начальный момент времени . Когда отрезок повернется на угол α₁, проекция его . Откладывая углы α₁, α₂ на горизонтальной оси, а проекции отрезка прямой – на вертикальной оси, получим ряд точек синусоиды (рис. 1).

Пусть даны два синусоидальных тока: и .

Нужно сложить эти токи и получить результирующий ток:

.

 

 

Рис. 1

 

Представим синусоидальные токи i ₁ и i ₂ в виде двух радиус-векторов, длина которых равна в соответствующем масштабе I _1m и I _2m. Эти векторы расположены в начальный момент времени под углами ψ₁ и ψ₂ относительно горизонтальной оси. Сложим геометрически отрезки I _1m и I _2m. Получим отрезок, длина которого равна амплитудному значению результирующего тока I _3m. Отрезок расположен под углом ψ₃ относительно горизонтальной оси. Все три

Рис. 2

отрезка вращаются вокруг точки «0» с постоянной угловой скоростью ω. Проекции отрезков на вертикальную ось изменяются по синусоидальному закону. Будучи остановленными, данные отрезки образуют векторную диаграмму (рис. 2). Векторная диаграмма – это совокупность векторов, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты.

Необходимо отметить, что напряжение, ток и ЭДС – это скалярные, а не векторные величины. Мы представляем их на векторной диаграмме в виде не пространственных, а временных радиус-векторов, вращающихся с одинаковой угловой скоростью. Положительным считается направление вращения векторов против часовой стрелки. Изображать на векторной диаграмме два вектора, вращающихся с различной угловой скоростью, нельзя.

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд, в котором синусоидально изменяющиеся функции изображаются векторами на комплексной плоскости. Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:

,

где с – модуль комплексного числа; ψ– аргумент; a = Re() – действительная часть; b = Im () – мнимая часть; j – мнимая единица, j = .

 

С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи комплексного числа к алгебраической:

; ; .

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

; ψ = arctg .

Комплексное число может быть представлено в виде радиус-вектора на комплексной плоскости с длиной, равной модулю c, расположенного в начальный момент времени под углом ψ относительно вещественной оси (рис. 3).

Умножим комплексное число на множитель e jβ. Радиус-вектор на комплексной плоскости повернется на угол βпротив часовой стрелки. Множитель e jβ называется поворотным:

Рис. 3

.

Отметим очевидные соотношения при следующих значениях угла β: β = 90°, β = –90°, β = + 180°,

,

Таким образом, умножение вектора на j является операцией его поворота в сторону опережения на 90^о (против часовой стрелки) по отношению к исходному вектору, умножение на (– j) – соответственно поворот его на 90^о в сторону отставания. Умножение вектора на –1 (смена знака) означает его поворот на 180^о в любом направлении поворота.

Два комплексных числа, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют комплексно сопряжёнными числами. Если исходное комплексное число , то комплексно сопряжённым числом будет .

Свойства комплексно сопряжённых чисел:

;

Re ()=()/2; Im ()=()/2 j.

Если β = ωt, то вектор, умноженный на , превратится во вращающийся со скоростью ω радиус-вектор.

Выражение является комплексной функцией времени. Применительно к синусоидальным напряжениям и токам получим их комплексные функции времени:

, ,

(5)

где , – комплексные амплитуды напряжения и тока (исходное положение векторов в комплексной плоскости).

Найдем мнимую часть комплексной функции времени для напряжения:

Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, напряжение, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.

Таким образом, синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω, проекции которых на мнимую ось изменяются по синусоидальному закону.

Для единообразия принято на комплексной плоскости изображать вектора синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени .

При расчетах цепей вместо комплексных амплитуд токов и напряжений используют комплексные действующие значения, которые в раз меньше. Совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты, называют векторной диаграммой.

Активное сопротивление, индуктивность

123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: