 |
Характеристики резонансных цепей
|
|
|
|
Реактивные сопротивления и проводимости отдельных участков цепи могут быть положительными (индуктивные элементы) и отрицательными (емкостные элементы). Поэтому возможны такие сочетания этих элементов, когда входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость всей цепи равны нулю. При этом ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе и эквивалентное сопротивление всей цепи является активным. Такие режимы цепи называются резонансными.
Резонанс напряжений. На рис. 7 приведена цепь, включающая последовательно соединенные активное сопротивление, индуктивность и емкость. При построении векторных диаграмм этой цепи рассмотрен режим, когда индуктивное и емкостное сопротивления одинаковы по величине (см. рис. 10). Напряжения на индуктивности и емкости полностью компенсируют друг друга. Ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением. В электрической цепи наступает режим резонанса напряжения.
Ток в резонансном режиме достигает максимума, так как полное сопротивление z цепи имеет минимальное значение:
.
Условие возникновения резонанса: 
.
Частоту 
называют резонансной частотой:
 .
| (40) |
Из (40) следует, что режима резонанса можно добиться следующими способами:
1) изменением частоты;
2) изменением индуктивности;
3) изменением емкости.
В резонансном режиме входное напряжение равно падению напряжения в активном сопротивлении. На индуктивности и емкости схемы могут возникнуть напряжения, значительно превышающие напряжение на входе цепи, если реактивные сопротивления значительно превышают активное сопротивление. Напряжение на индуктивности при резонансе равно напряжению на емкости:
|
|
|
.
Отношение 
Q называют добротностью контура.
Добротность показывает, во сколько раз напряжения на реактивных элементах превышает входное напряжение в резонансном режиме. В радиотехнических цепях добротность составляет несколько сотен. Резонансные свойства характеризуют также величиной обратной добротности 
, называемой затуханием контура.
Волновое сопротивление контура или характеристическое сопротивление 
определяет отношение напряжения на реактивных элементах в резонансном режиме к величине тока:
.
При резонансе напряжений малые количества энергии, поступающие от источника и компенсирующие потери энергии в активном сопротивлении, достаточны для поддержания незатухающих колебаний относительно больших количеств энергии магнитного и электрического полей. Покажем, что при резонансе в любой момент времени суммарная энергия магнитного и электрического полей остается постоянной:
 .
| (41) |
Пусть ток в резонансном контуре 
, тогда напряжение на емкости отстает по фазе от тока на 900 
.
Суммарная энергия магнитного и электрического полей (41) равна:
.
При резонансе:
, 
.
Следовательно, 
const.
Если в схеме (см. рис. 10) величина ЭДС и параметры R, L, C неизменны, но меняется частота 
, то изменяется реактивное сопротивление X и, следовательно, полное сопротивление и угол 
. Зависимости параметров двухполюсника (действительной и мнимой части входного сопротивления или входной проводимости) от частоты называют частотными характеристиками.
Реактивное сопротивление 
при трех характерных значениях частоты принимает предельные значения, равные нулю, либо бесконечности (рис. 18).
При 
; при 
, при 
имеет место резонанс напряжений и X = 0. Аргумент функции, при котором она принимает бесконечное значение, называется полюсом функции, а аргумент, при котором она принимает нулевое значение, называется нулевым значением. Отметим, что в момент резонанса происходит изменение характера реактивного сопротивления: при 
реактивное сопротивление имеет емкостный характер, а при 
– индуктивный характер.
|
|
|
Рис. 18
Величина действующего тока в цепи и напряжения на индуктивности и емкости также зависят от изменения частоты:
| 
| 
|
Зависимости действующих значений тока и напряжений на элементах цепи при изменении частоты называют резонансными кривыми. Резонансные характеристики 
, 
, 
приведены на рис. 19.
Напряжение на емкости 
при 
стремится к U, а при 
стремится к нулевому значению, напряжение на индуктивности 
при 
равно нулю, при 
UL стремится к U. При резонансной частоте ω 0 UL = UС и взаимно компенсируются, ток цепи максимален, напряжение источника приложено к активному сопротивлению.
Рис. 19
На рис. 19 видно, что максимум напряжения на индуктивности UL и максимум напряжения на емкости UС имеют место при частотах не равных резонансной частоте. Максимум UL имеет место при частоте, меньшей ω 0, а максимум UС при частоте, большей ω 0.
В электроэнергетических устройствах влияние резонанса, как правило, нежелательное, так как при резонансе напряжения на индуктивных и емкостных элементах могут значительно превышать номинальные значения. Такие явления могут возникать при подключении к зажимам синхронного генератора или трансформатора длинной линии передачи или кабеля, не замкнутых на приемник нагрузки. Генератор и трансформатор имеют индуктивное сопротивление, а линия или кабель обладают емкостью и индуктивностью. При отсутствии нагрузки на конце линии затухание такой цепи очень мало и возникают перенапряжения, если частота близка к резонансной.
Явление резонанса напряжений широко используется в радиопередающих и радиоприемных устройствах.
Резонанс токов. На рис. 11 приведена цепь, включающая параллельно соединенные активное сопротивление, идеальную индуктивность и идеальную емкость. При построении векторных диаграмм этой цепи рассмотрен режим, когда реактивная проводимость цепи b = (bL – bC) = 0 (см. рис. 14). При этом индуктивный и емкостный токи, направленные в противоположные стороны, полностью компенсируют друг друга. Ток в неразветвленной части схемы совпадает по фазе с напряжением. В электрической цепи наступает режим резонанса токов.
|
|
|
Из условия возникновения резонанса тока получим формулу для резонансной частоты тока:
.
Полученное выражение для резонансной частоты совпадает с (40). Резонанса токов можно добиться изменением частоты, изменением индуктивности либо емкости.
В режиме резонанса тока полная (входная) проводимость цепи 
– минимальна, а полное сопротивление 
– максимально. Ток в неразветвленной части схемы 
в резонансном режиме имеет минимальное значение, в отличие от резонанса напряжений, когда ток имеет максимальное значение.
В идеализированном случае при R = 0 
и 
.
Ток в неразветвленной части цепи I = 0. Такая схема называется фильтр-пробкой.
При резонансе токов возможны режимы, когда токи через индуктивность и емкость значительно превосходят ток в неразветвленной части схемы. Превышение токов в реактивных элементах над током в неразветвленной части схемы имеет место при условии:
.
Величина 
имеет размер проводимости и называется волновой проводимостью контура.
Добротность контура Q при резонансе токов определяет кратность превышения тока в индуктивности 
и емкости 
над током в неразветвленной части схемы 
:
.
Величина, обратная добротности 
,. является затуханием контура.
Энергетические процессы при резонансе токов аналогичны энергетическим процессам при резонансе напряжений. Малые количества энергии, поступающие от источника и компенсирующие потери энергии в активном сопротивлении, достаточны для поддержания незатухающих колебаний относительно больших количеств энергии магнитного и электрического полей. Суммарная энергия магнитного и электрического полей при резонансе токов также в любой момент времени остается постоянной.
Частотные характеристики проводимостей ветвей с индуктивностью 
, с емкостью 
и входной проводимости 
приведены на рис. 20.
При ω → 0: bC → 0, bL → ∞, b = (bL – bC) → ∞; при ω → ∞: bL → 0, bC → –∞, b → –∞; при ω = ω 0 имеет место резонанс токов и b = 0. В момент резонанса происходит изменение характера входной проводимости: при ω < ω 0 входная проводимость имеет индуктивный характер, а при ω > ω 0 – емкостной характер.
|
|
|
Рис. 20
Резонансные характеристики U(ω), IL(ω), IC(ω) при неизменном входном токе (I = const) и неизменных величинах активного сопротивления, индуктивности и емкости (R = const, L = const, C = const) определяются выражениями 
, 
, 
и приведены на рис. 21.
При ω = 0 сопротивление индуктивности равно нулю и весь ток протекает через катушку U = 0, I = IL. При 
сопротивление конденсатора стремится к нулю и ток проходит только через конденсатор U = 0, I = IL. При частоте резонанса ω = ω 0 I = IL, токи в индуктивности и конденсаторе взаимно компенсируются, входной ток равен току через активное сопротивление I = Ug. Максимумы токов через индуктивность и емкость не совпадают с максимумом напряжения при резонансной частоте ω = ω 0. Максимум IL имеет место при частоте, меньшей ω 0, а максимум IC – при частоте, большей ω 0.
| В энергетике процесс уменьшения угла сдвига фаз между напряжением на приемнике и током, потребляемым из сети, называют компенсацией угла сдвига фаз. Входное сопротивление большинства промышленных предприятий имеет индуктивный характер вследствие массового использования асинхронных двигателей. Для уменьшения вели- | 
Рис. 21
|
чины потребляемого тока за счет компенсации его реактивной составляющей и соответственно потерь электроэнергии в сети, параллельно приемнику энергии включают батареи конденсаторов. Экономически выгодно подключать конденсаторы на возможно более высокое напряжение, так как ток через конденсаторы пропорционален напряжению IC = UωС. Компенсация угла сдвига фаз обычно выполняется до значения коэффициента мощности cos φ = 0,9–0,95.
|
|
|
