 |
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 2. Нормальное и тангенциальное ускорение. Прямолинейное равнопеременное движение.. Кинематическая часть основной задачи мех аники
|
|
|
|
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 2
1. Скорость – производная радиус -вектора по времени (2. 1):
Напра влена скорость по касательной к траектории.
2. Компоненты скорости равны производным соответ ствующих коорд и-
нат по времени (2. 2):
3. Модуль скорости – производная пути s по времени (2. 3):
4. Модуль скорости связан с ее компонентами следующим образом (2. 4):
5. При равномерном движении, т. е. при пройденный путь
связан с временем движения t простой формулой (2. 5):
6. Для произвольного движения путь равен определенному интегралу от
модуля скорости по времени ( 2. 6)
7. Ускорение – это производная скорости по времени (2. 7):
8. Ускорение – это вторая производная радиус-вектора по времени (2. 8):
.
9. Компоненты ускорения ах, аy, а z равны производ ным по времени от с о-
ответствующих компонент скорости (2. 9):
и вторым производным по времени от соответствующих координат (2. 9а):
.
10. Зависимость скорости материальной точки от времени может быть
найд ена (2. 1 1), если известно ускорение как функция времени:
.
ЛЕКЦИЯ № 3
Нормальное и тангенциальное ускорение.
Прямолинейное равнопеременное движение.
Кинематическая часть основной задачи мех аники
§ 1. Нормальное и тангенциальное ускорение
|
|
|
Пусть материальная точка движется по произвольной криволинейной тр а-
ектории (рис. 3. 1) с переменной по модулю скоростью.
В этом случае за счет криволинейности траектории скорость будет изм е-
няться по направлению , кроме того, у скорости изменяется ее модуль. Для х а-
рактеристики такого движения полное ускорение удобно представить в виде
суммы двух составляющих: нормального ускорения , направленного перпенд и-
кулярно скорости, и тангенциального ускорения, направленного вдоль вектора
скорости.
Введем единичный вект ор, направленный вдоль вектора скорости:
Рис. 3. 1
Тогда для ускорения из определения (2. 7) и рис. 3. 1 следует:
(3. 1)
(по правилу нахождения производной от произведени я).
Первый член, нормальное ускорение ,
(3. 2)
показывает быстроту изменения направления скорости.
Второй член, тангенциальное ускорение ,
(3. 3)
направлен вдоль скорости и показывает быстроту изменения ее модуля .
Модуль тангенциального ускорения равен, как следует из (3. 3):
. (3. 3а)
Направление и величину нормал ьного ускорения найдем для частного сл у-
чая равномерного движения материальной точки по окружности (рис. 3. 2а,
|
|
|
3. 2б, 3. 2в):
Рис. 3. 2б
Рис. 3. 2а Рис. 3. 2в
Пусть точка за время переместилась из начального положения
в конечное. При этом радиус R повернется на угол. По определению рад и-
анной меры угла измеряется отношением длины дуги к радиусу:
.
При равномерном движении по окружности ск орость меняется по напра в-
лению, но не меняется по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение
равно нулю. Чтобы найти нормальное ускорение, воспользуемся формулой
(3. 2), которую запишем, применив определение производной, в следующем в и-
де:
. (3. 2а)
На рис. 3. 2б вектор показывает изменение направления вектора ск о-
рости за промежуток времени t.
Рисунки 3. 2б и 3. 2в показывают, как изменяется направление вектора
при совершении предельного перехода ( ).
Направлен , при по вектору, перпендикулярному вектору
: ( значит угол между стремится к ). Модуль вектора
, как следует из рис. 3. 2в, равен в пределе.
Следовательно, при t 0 для вектора , можно записать следующее
выражение:
здесь - единичный вектор нормали к скорости, .
Теперь подставим полученное выражение для в формулу 3. 2а, при
этом запишем как отношение S/R:
(3. 4)
Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль р авен:
. (3. 4а)
Для движения по произвольной кривой радиус кривизны траектории R
не будет величиной постоянной. На рис. 3. 3 и зображены векторы скорости,
нормального, тангенциального и полного ускорения для этого случая. Вектор
|
|
|
направлен, как и вектор, к локальному центру кривизны траектории.
Тангенциальное ускорение направлено так же, как скорость, и по модулю, как
следует из (3. 3), равно производной от модуля скорости по времени: .
Модуль полного ускорения вычисляется по теореме Пифагора:
.
Рис. 3. 3
§ 2. Прямолинейное равнопеременное движение
При прямолинейном движении траектория – прямая линия. Выберем си с-
тему координат так, чтобы траектория материальной точки совпадала с осью х.
Тогда положение тела в пространстве можно задать одной координатой – x(t).
Зависимо сть x(t) можно получить, проинтегрировав первую из формул (2. 2),
зап и санную в виде:
Возьмем определенный интеграл от нуля до t от обеих частей этого раве н-
ства:
Интеграл в левой части равенства берется так же, как и при интегриров а-
нии формулы (2. 11). В резул ьтате интегрирования получим:
(3. 5)
Для того, чтобы взять интеграл в правой части равенства (3. 5), нам нео б-
ходимо знать зависимость . Ее мы найдем, применив к нашему случаю
определение ускорения (2. 7). Так как наше движение одномерное, то из (2. 7) и
(2. 9) следует, что
или
Проинтегрируем последнее равенство:
.
Так как (движение равнопеременное), то ускорение а х можно
вынести за знак интеграла. Оставшиеся интегралы мы уже научились брать
(см. (2. 10) и (3. 5)), после интегрирования имеем:
откуда для следует:
(3. 6)
Теперь из (3. 5) и (3. 6) для x(t) получим:
Оставшийся интеграл табличный, он равен:
С учетом этого, окончательная формула для зависимости координаты тела
х от времени t для равнопеременного движения приобретает следующий вид:
|
|
|
. (3. 7)
Здесь мы, как это обычно дела ют, опустили индексы y скорости и ускор е-
ния.
Если за время движения знак скорости v(t) в формуле (3. 6) не меняется
(т. е. не меняется направление движения), то из (3. 7) можно найти пройденный
путь. Действительно, при движении в одном направлении путь:
выражая из (3. 7) для пройденного пути s, при выполнении отмече н-
ного выше условия, получим:
(3. 8)
Если направление движения меняется, для нахожден ия пройденного пути
все время движения и весь путь нужно разбить на промежутки, в течение кот о-
рых знак скорости постоянен. Затем по формуле (3. 8) найти отрезки пройде н-
ного пути, после чего их сложить.
§ 3. Как решается основная задача механики
|
|
|
