 |
материальн ой точки для произвольного движения
|
|
|
|
материальн ой точки для произвольного движения
Рассмотрим сначала прямолинейное движение с переменным ускорением.
Положение тела по -прежнему задается одной координатой – x(t). Но ускорение,
в отличие от предыдущего случая, не постоянно: . Если функция нам известна, то как и в предыдущем параграфе, из (2. 7) получим:
Однако теперь ускорение мы не можем выносить за знак интеграла.
Интегрируя, получим:
(3. 9)
Затем из (3. 9) следует подставить в (3. 5), и задача нахождения x(t), в
принципе, решена.
Решение основной задачи механики для произвольного движения матер и-
альной т очки в трехмерном пространстве сводится к нахождению только что
описанным способом трех зависимостей: x(t), y(t), z(t). Как видно из пров о-
дившихся рассуждений, для решения этой задачи необходимо знать три комп о-
не н ты ускорения ( ), три значения начальных скоростей
( ) и начальных координат материальной точки: . Использование векторных обозначений позволяет все это сформулировать
короче: для нахождения зависимости необ ходимо знать и нач альные
условия ( ).
Таким образом, состояние материальной точки в любой момент времени t
полностью определяют две векторные величины: вектор скорости и ра-
диус -вектор . Вектор ускорения определяет зависимость состояния
|
|
|
ма териальной точки от времени.
Вопрос нахождения зависимости ускорения от времени – – лежит за
пределами кинематики. Этим занимается сл едующий раздел механики – дин а-
мика.
Здесь отметим, что при решении основной задачи механики для системы
взаимодействующих частиц ускорение обычно зависит от взаимных рассто я-
ний между частицами, которые, в свою очередь, зависят от времени. Но в этом
случае ясно, что явную зависимость ускорения от времени нельзя получить, п о-
ка не решена основная задача механики. В таких случаях на основе основного
закона динамики материальной точки – второго закона Ньютона – можно пол у-
чить систему дифференциальных уравнений, в которых неизвестными величин а-
ми являются зависимости координат материальных точек системы от врем ени.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 3
1. При произвольном криволинейном движении ускорение удобно разл о-
жить на две составляющие: нормальное и тангенциальное ускорение (рис. 3. 3)
.
2. Нормальное ускорение определяет быстроту изменения направления
скорости и направлено перпендикулярно скорости (см. (3. 2), (3. 4), рис. 3. 3). Его
модуль:
,
здесь R – локальный ра диус кривизны траектории.
3. Тангенциальное ускорение показывает быстроту изменения модуля
скорости и направлено вдоль скорости (см. (3. 3), рис. 3. 3). Его модуль равен
|
|
|
производной от модуля скорости по времени (3. 3):
.
4. Модуль полного ускорения может быть найден по формуле:
.
5. Для прямолинейного равнопеременного движения зависимости скорости
v и координаты х от времени t даются следующими формулами ((2. 10), (2. 11)):
6. Путь s при движении с постоянным ускорением в одном направлении
находится по следующей формуле:
7. Для решения основной задачи механики при произвольном движении
материальной точки в трехмерном пространстве – нахождения - необх о-
димо знать и начальные условия: (§ 3).
8. Состояние материальной точки в любой момент времени определяется
ее радиус -вектором и вектором ее скорости
ЛЕКЦИЯ № 4
Законы Ньютона. Силы в природе
§ 1. Почему в кинематике вводят только первую и вторую
произво дные от радиус -вектора:
первую – скорость и вторую – ускорение?
,
.
А если ввести не кую?
Ввести такую производную можно, но для решения основной задачи мех а-
ники это не нужно. Основная задача механики – предсказать положения тел в
любой момент времени, т. е. предсказать вид функции для всех и зучаемых
тел. Однако в природе не существует фундаментального закона, что -либо у т-
верждающ его непосредственно о радиус -векторе материальной точки.
Закон обнаруживается на более глубоком уровне – на уровне второй пр о-
изводной от радиус -вектора:
– нет закона;
– нет закона;
– есть закон!, см. (4. 4).
Двигаясь по этой цепочке «обратным ходом», мы можем, получив из зак о-
на природы (второй закон Ньютона) ускорение, найти сначала ,
затем и (см. § 2, 3 лекции 3). Поэтому обычно нет необходимости дифф е-
|
|
|
ренцир овать больше, чем два раза.
§ 2. Законы Ньютона
Основы классической динамик и составляют три закона, сформулирова н-
ные И. Ньютоном в 1687 году. Это фундаментальные законы, они ниоткуда не
выв о дятся и получены на основе осмысливания и обобщения многочисленных
опы т ных данных. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах
отсч е та.
Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона
Инерциальная система отсчета – это система отсчета, в которой тела, не
подверженные воздействию других тел, движутся прямолинейно и равномерно
или покоятся.
Для описания многих механических движен ий в земных условиях инерц и-
альную систему отсчета связывают с Землей. Но так как при этом пренебрегают
вращательным движением Земли вокруг собственной оси и движением Земли
вокруг Солнца, эта система отсчета не является строго инерциальной. Более
строго пе рвый закон Ньютона выполняется в системе отсчета, начало коорд и-
нат которой совмещено с центром Солнца, а координатные оси проведены на
какие -либо определенные звезды, которые прин имают за неподвижные.
|
|
|
