 |
Закон сохранения импульса. Работа и мощность.
|
|
|
|
Закон сохранения импульса. Работа и мощность.
Кинетическая энергия
§ 1. Роль законов сохранения в механике.
Определения необходимых терминов
В пред ыдущих лекциях мы выяснили, что основная задача механики,
в принципе, может быть решена на основе законов Ньютона, если известны н а-
чальное состояние рассматриваемой системы и силы взаимодействия между т е-
лами (матер иальными точками) этой системы. Точнее – можно на основе II и III
законов Ньютона записать систему дифференциальных уравнений, описыва ю-
щих движение всех материальных точек нашей системы. Получить же завис и-
мости положений материальных точек от времени обычно, за исключен и-
ем очень простых случаев, можно, только применяя вычислительную технику.
Но, повторим, в принципе, основная задача механики решается на основе зак о-
нов Ньютона.
Однако, оказывается, что из законов Ньютона можно еще получить и зак о-
ны сохранения. В механике изв естны три закона сохранения: закон сохранения
импульса (его мы рассмотрим в этой лекции), закон сохранения полной мех а-
нич е ской энергии (лекция 6) и закон сохранения момента импульса (лекция 9).
Какова же роль этих законов в механике? Разумеется, если мы в состоянии р е-
шить о сновную задачу механики для нашей системы, то законы сохранения не
дадут нам никакой дополнительной информации об этой системе. Но, тем не менее, законы сохранения являются мощным средством решения физических
|
|
|
задач. Дело в том, что законы сохранения не зависят от вида траектории и х а-
рактера действующих сил. Они могут быть использованы даже в тех случаях,
когда силы неизвестны. В ряде задач, когда не требуется знать траектории тел,
а необходимо лишь связать начальное состояние системы с ко нечным, приме-
нение законов сохранения кра тчайшим путем приводит нас к цели.
Оказывается, что законы сохранения импульса, энергии и момента и м-
пульса обладают гораздо большей общностью, чем законы Ньютона. Эти три
закона с охранения связаны с общими свойства ми пространства и времени.
В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т. е.
одинаковость его свойств во всех точках. Закон сохранения энергии вытекает
из однородности времени , т. е. равнозначности всех моментов времени и нез а-
висимо сти законов природы от времени. Закон сохранения момента импульса
является следствием изотропности пространства, т. е. одинаковости его свойств
по всем направлениям.
Теперь сформулируем определения терминов, необходимых при рассмо т-
рении законов сохранения.
Механическая система - это совокупность тел, выделенных нами для
рассмотрения.
Внутренние и внешние силы
1 2 торыми взаимодействуют тела системы Внутренние силы – это силы, с к о-
ме ж ду собой.
Внешние силы действуют со стор о-
|
|
|
Вне ш- ны тел, не входящих в систему. На
Система тел 3 тема обведена пунктирной линией. Вне системы нах рис. 5. 1 выделенная механическая си одится одно внешнее тело. с-
На тела выд еленной системы действуют
Рис. 5. 1 как внутренние ,
так и внешние с илы.
Замкнутая система
Замкнутая система – это система, на которую внешние силы не действуют.
1 2
Рис. 5. 2
На рис. 5. 2 изображена замкнутая система, между телами которой дейс т-
вуют только внутренние силы.
Импульс системы материальных точек - это векторная сумма импул ь-
сов всех материальных точек, входящих в систему:
. (5. 1)
Рис. 5. 3 иллюстрирует формулу (5. 1), являющуюся определением импул ь-
KKKKKKKKKK. системы материальных точек.
Рис. 5. 3
Взаимодействие материальных точек системы приводит к изменению и м-
пульсов каждой из них. Но при определенных условиях импульс системы мат е-
риал ьных точек не изменяется с течением времени, сохраняется.
§2. Закон сохранения импульса
Выясним те условия, при которых полный импульс системы материал ь-
ных т очек сохраняется. Для этого запишем второй закон Ньютона (4. 3) для
каждого из тел рассматриваемой системы (см. рис. 5. 1):
Сложим эти уравнения, при этом учтем трети й закон Ньютона, согласно
которому . В результате слева получим прои з-
водную по времени от полного импульса нашей системы, а справа – векторную сумму всех внешних сил, действующих на нашу систему материальных точек:
. (5. 2)
Как известно из математики, необходимым и достаточным условием п о-
стоянства во времени некоторой величины является равенство нулю ее прои з-
|
|
|
водной по времени.
Из полученного выше равенства (5. 2) следует, что для это го сумма вне ш-
них сил должна быть тождественно равна нулю, т. е.:
.
Теперь мы можем сформулировать закон сохранения импульса : если
векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему материальных
точек, равна нулю, то полный импул ьс такой системы сохраняется, т. е. не
изм е няется с течением времени.
Рассмотренная нами система состояла из трех материальных точек. Поня т-
но, аналогичные результаты получатся для системы из N материальных точек.
Сумма внешних сил может быть равна нулю в дв ух случаях. В первом сл у-
чае, когда внешние силы отсутствуют. Такая система называется замкнутой
(см. рис. 5. 2). Значит, импульс замкнутой системы сохраняется .
Во втором случае внешние силы могут присутствовать, но в сумме д а-
вать ноль, их действие на систем у будет скомпенсированным. В этом случае
импульс системы тоже сохраняется.
Импульс системы – величина векторная. Если импульс сохран я-
ется, не изменяется с течением времени, то должны быть постоянны все три его
комп оненты, т. е.: если .
Но
Отсюда следует, что возможны ситуации, когда полный импульс системы
не сохраняется, но при этом могут сохраняться отдельные его компоненты.
Например, если то p = const, при этом во з можно, что
|
|
|
x
и py const; и py const.
|
|
|
