 |
Примеры для самостоятельного решения
|
|
|
|
1. Руководитель торговой фирмы решает вопрос о покупке штучной продукции. К покупке товара он может прибегнуть лишь один раз. Каждая единица продукции стоит р1 ден.ед. и может быть продана за р2 ден.ед. Товар, не проданный к концу сезона, полностью обесценивается. Известно, что количество единиц продукции, которое может быть продано, колеблется от 1 до n. По данным таблицы составить матрицу денежных сумм, полученных в зависимости от решения руководителя торговой фирмы и от результатов продажи.
| Вариант | р1 | р2 | n |
| 13,5 7,5 10,5 12,5 | 19,5 10,5 13,5 17,5 |
2. По данной платежной матрице найти:
1) оптимальные стратегии в игре с природой, используя критерии Вальда, Севиджа, Гурвица, Лапласа;
2) найти выигрыш и оптимальные смешанные стратегии в случае стратегической игры, сведя матричную игру к задаче линейного программирования, используя итерационный метод.
| 1. |  5
|  3
| 6. |  5
|  6
| |||
| 2. | 2
| 3
| 7. | 3
| 7
| |||
| 3. | 1
| 1
| 8. | 2
| 1
| |||
| 4. | 3
| 1
| 9. | 3
| 4
| |||
| 5. | 1
| 5
| 10. | 5
| 3
| |||
Позиционные игры
П.1. Основные понятия теории позиционных игр
В данном разделе мы рассмотрим многошаговые игры. Необходимость в рассмотрении таких игр возникает потому, что достаточно большое число конфликтных ситуаций невозможно решить за один ход.
|
|
|
В дальнейшем будем рассматривать только парную игру с нулевой суммой. Каждый из игроков в определенной последовательности делает свой ход. При этом конфликтная ситуация меняется. Состояние конфликта после каждого шага будем называть позицией.
Для описания позиционной игры полезно использовать дерево решений. Дерево решений представляет собой графический инструмент для более наглядного представления игры.
Дерево игры представляет собой совокупность вершин (круги, квадраты и треугольники) и ветвей (линии). Вершины соответствуют определенным моментам времени. Вершины-решения – квадраты соответствуют моментам времени, когда лицо, принимающее решение (ЛПР), делает ход. Иногда прямо в квадрате записывают, какой из игроков делал ход. Вершины-вероятности – круги соответствуют моментам времени, когда разрешается одна из неопределенностей. Окончание задачи отмечается треугольником.
Различают позиционные игры с полной и с неполной информацией.
В позиционных играх с полной информацией (шашки, шахматы) каждый из игроков при своем ходе знает ту позицию дерева игры, в которой он находится.
Рассмотрим следующий пример.
П р и м е р 3.1. В игре участвуют два игрока А и В. Каждый из игроков делает по одному ходу. При этом у каждого игрока существует две возможности выбора (альтернативы).
1-й ход: игрок А выбирает одно из чисел {1, 2};
2-й ход: игрок В выбирает одно из чисел {1, 2}, зная выбор игрока А.
Функция выплат v(х, у) игроку А за счет игрока В задается следующим образом:
v(1, 1) = 1; v(2, 1) = - 2;
v(1,2) = - 1; v(2, 2) = 2.
На рисунке 3.1 показано дерево данной игры. 5
В позиционных играх с неполной информацией игрок, делающий ход, не знает, в каком месте дерева игры он находится. Ему известно лишь некоторое множество позиций, включающее его фактическую позицию. Такое множество позиций называется информационным множеством. Позиции, принадлежащие одному и тому же множеству, объединяют пунктирной линией. Это означает, что игрок не знает, в какой позиции информационного множества находится.
|
|
|
1 - 1 - 2 2
1 2 1 2
В В
1 2
|
АРис. 3.1.
Приведем поясняющий пример.
П р и м е р 3.2. Пусть в условии примера 3.1 игрок В не знает, какой выбор сделал игрок А. Таким образом, дерево игры примет вид.
1 - 1 - 2 2
В В
1 2
|
1 2 1 2Рис. 3.2.
Пунктирная линия на рисунке 3.2 означает, что игрок В не может различить своих позиций после хода игрока А и воспринимает их как одну. 5
|
|
|
