 |
I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
|
|
|
|
Пример 1. Даны векторы 
1(2; 4; 3; 2), 2(4; 2; 2; 8), 3(4; 5; 8; 7), 4(6; 7; 5; 3) и 
(18; 24; 13; 6). Показать, что векторы 
1, 2, 3, 4 образуют базис четырехмерного линейного пространства R4 и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение.
Выражение х1+ 1+х2 2+…+хк к называется линейной комбинацией векторов 1, 2, … к с коэффициентами х1, х2, …хк. Любая линейная комбинация векторов линейного пространства представляет собой вектор того же пространства. Если некоторый вектор линейного пространства представлен в виде линейной комбинации векторов 1,…, к того же пространства, т.е.
(1)
то говорят, что вектор разложен по векторам 1,… к Система векторов 1, 2, … к некоторого линейного пространства называется линейно независимым, если равенство
(2)
имеет место только при нулевых значениях коэффициентов х1, х2, …, хк, если же равенство (2) выполняется и при условии, что хотя бы один из коэффициентов х1, х2, …, хк, отличен от нуля, то система векторов 1, 2, … к называется линейно зависимой.
Для векторов с заданными координатами 1(х1, y1, z1, p1), 2(x2, y2, z2, p2), 3(x3, y3, z3, p3), 4(x4, y4, z4, p4), составим определитель и вычислим его.
(3)
Подставим в (3) данные векторы 1, 2, 3, 4, получим
Так как 
, то векторы линейно независимы и они образуют базис линейного пространства R4. Для вычисления координат вектора в этом базисе составим систему линейных уравнений из координат векторов 1, 2, 3, 4 и и решим ее методом Гаусса:
*
Составим матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду, т.е. будем последовательно получать нули ниже главной диагонали матрицы, на которых находятся элементы 2, 2, 8, 3.
Разделим каждый элемент I строки на 2, затем полученную I строку умножим последовательно на -4; -3; -2 и сложим соответственно со II; III и IV строками, получим:
|
|
|
~ 
Разделим III строку на (-2) и поменяем ее местами со II строкой.
Новую II строку умножим последовательно на 3; -2 и сложим соответственно с III и IV строками, получим:
III строку умножим на 5, IV на 6 и сложим их, получим:
Таким образом получим матрицу ступенчатого вида, например х1, х2, х3, х4,
откуда х4 = 3, х3 = -1, х2 = 0, х1 = 2.
Решение системы * (2; 0; -1; 3) образует совокупность координат вектора в базисе 1, 2, 3, 4, т.е. в этом базисе (2; 0; -1; 3) или = 2 
1 - 3 + 3 4.
Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды А1 (2; 1; 0), А2 (3; -1; 2), А3 (13; 3; 10), А4 (0; 1; 4).
Найти: 1) длину ребра А1А2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) угол между ребрами А1А4 и гранью А1 А2 А3;
4) площадь грани А1 А2 А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1 А2 А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.
Решение.
1) Расстояние d между точками А (х1, y1, z1) и В (х2, y2, z2), определяется по формуле
(1)
Подставим в (1) координаты точек А1 и А2, находим длину ребра А1А2:
А1А2= 
2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4 равен углу φ между направляющими векторами этих ребер 
и 
. Косинус угла между двумя векторами = скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей:
(2)
Координаты вектора 
с началом в точке А1 (x1, y1, z1) и концом в точке А2 (x2, y2, z2)
(3)
Применяя (3), получим (1; -2; 2), 
(-2; 0; 4). Применяя (1), получим модули векторов
Скалярное произведение двух векторов с заданными координатами равны сумме произведений соответствующих координат, т.е если (а1, а2, а3), (
), то их скалярное произведение
(4)
Применяя (4), найдем 
. Следовательно,
3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1 А2 А3 равен углу φ между направляющим вектором данного ребра и нормальным вектором 
плоскости А1 А2 А3.
|
|
|
Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки А1 (х1, y1, z1) и А2 (х2, y2, z2), А3 (х3, y3, z3) имеет вид
(5)
Подставим в (5) координаты точек А1 А2 А3, получим:
Разложим определитель по элементам I строки:
Сократив на (-12), получим уравнение плоскости А1 А2 А3:
2x – 4 – y + 1 - 2z = 0
2x – y - 2z – 3 = 0
Если уравнение плоскости α задано в каноническом виде Ax + By + Cz + Д = 0, то ее нормальный вектор α (А; В; С), т.е. нормальный вектор плоскости А1 А2 А3 имеет координаты (2; -1; -2). Синус угла α между вектором и плоскостью А1 А2 А3
(6)
Найдем скалярное произведение 
по формуле (4):
= -2 2 + 0 (-1) + 4 (-2) = - 4 – 8 = -12.
|
|
|
