 |
III. Производная и ее приложения
|
|
|
|
Основные правила и формулы дифференцирования:
1. y = c, где c=const, 
.
2. y = x, y'=1.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
- это правило дифференцирования сложной функции.
Пример 1. Найти производные 
данных функций
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
<1;
д) 
; е) 
.
Решение:
а) Применяя правило дифференцирования дроби и формулы (3); (16), имеем
б) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:
в) 
г) 
д) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:
или 
.
Теперь дифференцируем обе части, считая lny сложной функцией от переменной x.
откуда
.
е) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную y', надо продифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной y'. Имеем:
Из полученного равенства, связывающего х, у и y', находим производную y':
откуда 
Пример 2. Найти производную второго порядка 
:
а) 
б) 
в) 
Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:
откуда 
(1)
Снова дифференцируем по х обе части равенства (1):
(2)
Заменив y' в (2) правой частью (1), получим
.
б) Найдем первую производную данной функции
.
Найдем производную от первой производной, получим вторую производную функции 
:
в) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную y', находим сначала дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов:
|
|
|
Тогда 
Производная второго порядка 
. Значит, чтобы найти y'', надо найти дифференциал dy':
Тогда 
Формула Тейлора
(1)
С ее помощью можно вычислить приближенные значения функции f(x), если известны значения этой функции и ее производных до порядка n в «начальной» точке x=a и если, кроме того, удается оценить остаточный член Rn. Если
, то (2)
(3)
с погрешностью α0.
Для оценки погрешности формулы (3) чаще всего используется запись остаточного члена Rn в форме Лагранжа:
И
, где ξ лежит между точками а и х. (4)
Пример 3. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа, вычислить е0,1 и е0,2 с точностью 0,001.
Решение: Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f(x)=ex имеет вид:
где
Отсюда получим:
Значения х1 = 0,1 и х2 = 0,2 принадлежат отрезку [0;½],следовательно, 0<θx<0,5 и е θx<e0.5<2;
Требуется определить n так, чтобы выполнялось неравенство Rn<0,001 и х = 0,1.
Положим х = 0,1 и вычислим несколько первых членов разложения, сравнивая их с заданной точностью α = 0,001:
u0=1=1,0000>α,
Итак, для вычисления е0,1 с α =0,001 достаточно взять первые 4 слагаемых.
е0,1≈1+0,1+0,005+0,0002≈1,1052≈1,105.
Полагая х=0,2 аналогично можно найти, что достаточно 5 слагаемых и е0,2≈1,221.
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=3х-х3 на отрезке [-2;3].
Решение: Найдем производную: у' = 3-3х2=3(1-х2). Приравняв у' к нулю, находим стационарные точки: 3(1-х2)=0, т.е. х1=1 и х2=-1.
Определяем значения функции в этих точках:
f(1)=2,
f(-1)=-2.
Вычисляем значения данной функции на границах промежутка:
f(-2)=2,
f(3)=-18.
Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее. Итак, наибольшее значение функции на отрезке [-2;3] fнаиб = 2, а наименьшее f наим = -18.
Пример 5. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию 
и, используя результаты исследования, построить ее график.
|
|
|
Решение: Исследование функции проведем по следующей схеме:
1. Найдем область определения функции.
2. Исследуем функцию на четность и нечетность.
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Исследуем функцию на непрерывность; найдем точки разрыва (если они
существуют) и установим характер разрыва.
5. Найдем асимптоты кривой у = f(x).
6. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.
7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
Реализуем данную схему.
1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=±2, т.е. область определения функции D(y) = (-∞;-2)U(-2;2)U(2;+∞).
2. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств для любых х и –х из области определения функции:
a) Если f(-x) = f(x), тогда f(x) - функция четная, т. е. ее график симметричен относительно оси О у;
b) Если f(-x) = -f(x), тогда f(x) - функция нечетная, т. е. ее график симметричен относительно начала координат т. О(0;0).
Итак, 
, следовательно, данная функция является нечетной.
3. Для нахождения точек пересечения графика функции с осью Ох полагаем у=0; с осью О у — х=0.
х=0; у=0.
у=0, 
Т.е., график функции пересекает систему координат в т. О(0;0).
4. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения D(у). Найдем односторонние пределы функции в указанных точках:
.
Т.о., в точках х=±2 функция имеет разрыв второго рода и прямых х = -2 и х = 2 – вертикальные асимптоты графика функции.
5. Найдем наклонные асимптоты у=kx+b, где 
Т.о., наклонная асимптота имеет уравнение у = х.
6. Значение f(x0) называется максимумом функции f(x), если при любом достаточно малом h>0 выполняются условия f(x0-h)<f(x0) и f(x0+h)<f(x0). Точка х0 называется в этом случае точкой максимума функции f(x) (рис.5).
Значение f(x0) называется минимумом функции f(x), если при любом достаточно малом h>0 выполняются условия f(x0-h)>f(x0) и f(x0+h)>f(x0). Точка х0 называется в этом случае точкой минимума функции f(x) (рис. 6).
Максимум или минимум функции называется экстремумом функции.
Необходимое условие экстремума. Если функция f(x) в точке х0 имеет экстремум, то производная f'(x0) обращается в нуль или не существует.
|
|
|
Точка х0, в которой f'(x0)=0, называется стационарной точкой. Точки, в которых f'(x)=0 или f'(x) не существует, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a;b), если для любых двух точек х1и х 2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству х1< х 2, выполняется неравенство f(x1)<f(х2). Если же f(x1)>f(х2) при х1< х 2, то функция f(x) называется убывающей в интервале (a;b).
Найдем производную данной функции
Найдем критические точки:
х1=0; х2=12, х2= 
х2= 
.
х2≠4, х≠±2 –не входят в область определения функции D(y), значит, экстремума в этих точках быть не может.
Разобьем числовую ось на 5 интервалов, составим таблицу и определим знак первой производной в каждом интервале.
| х | -∞;-2 
| -2
| -2 ;-2
| -2;2 | 2; 2
| 2
| 2 ;+∞
|
| у'(x) | + | - | - | - | + | ||
| у(x) | возрастает | -3
| убывает | убывает | убывает | 3
| возрастает |
| max | min |
При переходе через точку х = -2 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум: уmax = у (-2 )= -3 .
Значит, А (-2 ;-3 ) - точка максимума.
При переходе через точку х = -2 первая производная меняет свои знаки с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: уmin = у (2 )= 3 . Значит, В (2 ;3 ) - точка минимума.
7. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.
Если f''(x)<0 в интервале (a;b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если же f''(x)>0, то в интервале (a;b) график функции - выпуклый.
График функции у=f(х) называется выпуклым в интервале (a;b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.7).
График функции называется вогнутым в интервале (a;b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.8).
Точка (х0;f(х0)) графика функции, отделяющая его выпуклую и вогнутую части, называется точкой перегиба.
Найдем вторую производную:
y''=0 при х=0 и y'' – не существует при х=±2; которые не входят в область определения функции.
|
|
|
Составим таблицу, разбив числовую ось на интервалы и определим знак второй производной в каждом из них:
| х | -∞;-2 | -2;0 | 0;2 | 2;+∞ | |
| y''(х) | - | + | - | + | |
| у(х) | ∩ | U | ∩ | U |
На интервалах (-∞;-2) и (0;2) y''<0 и дуга кривой выпукла; на интервалах (-2;0) и (2;+∞), y''>0 и тем самым график является вогнутым.
При переходе через точку х=0 y'' меняет свой знак, поэтому х=0 - абсцисса точки перегиба. Следовательно, С(0;0) – точка перегиба графика функции.
График исследуемой функции показан на рис.9.
Дополнительные точки для построения графика:
| х | -3 | -5 | -1 | -1,5 |
| у | -5,4 | -5,6 | 
| -2 |
|
|
|
