 |
Элементы операционного исчисления
|
|
|
|
Пусть функция f(x) обладает следующими свойствами:
10. f(x) ≡0 при t < 0.
20. |f(x)| < МеSot при t > 0, где М > 0 и S0 – некоторые действительные постоянные.
30. На любом конечном отрезке [а, в] положительной полуоси Ot функция f(x) удовлетворяет условием Дирихле, т.е.:
а) ограниченна;
б) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода;
в) имеет конечное число экстремумов.
Такие функции в операционном исчислении называются изображаемыми по Лапласу, или оригиналами.
Пусть р = α + βi - комплексный параметр.
При сформированных условиях интеграл 
сходится и является функцией от р.
Этот интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция комплексного аргумента р называется преобразованием Лапласа от функции f(t) или лапласовым изображением f(t) или просто изображением f(t).
Таблица изображений основных элементарных функций
| № | f (t) при t > 0 | 
| № | f (t) при t > 0 |
|
| eαtcos βt | 
| |||
| 
| eαtsin βt | 
| ||
| еαt | 
| 
| 
| ||
| at | 
| t cos βt | 
| ||
| cos βt | 
| t sin βt | 
| ||
| sin βt | 
|
Тот факт, что функция 
является изображением оригинала f(t), обозначается следовательно символом 
f(t).
Если дано линейное дифференцированное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
y(n) + a1y(n-1) +…+ any = f(t),
правая часть которого f(t) является оригиналом, то и решение этого уравнения, удовлетворяющее произвольным начальным условиям вида:
y (0) = y0, у΄(0) = y΄0, y΄΄=y0΄΄, …,y(n-1)(0) = y(n-1)0
(т.е. решение задачи Коши, поставленной для этого уравнения, с начальными условиями при t = 0, служит оригиналом. Обозначая изображение этого решения через 
, находим изображение левой части исходного дифференцированного уравнения и, приравнивая его к изображению функции f(t),приходим к так называемому изображающему уравнению, которое всегда является линейным алгебраическим уравнением относительно . Определив из этого уравнения , находим оригинал у(t).
|
|
|
Пусть оригинал f(t) дифференцируем n раз и его производные до n-го порядка в свою очередь являются оригиналами. Тогда справедлива теорема дифференцирования оригинала:
если 
f(t), то
f(k)(t) 
pk -{ pk-1· f(0) +pk-2· f΄(0) + … + fk-1(0)}, (k 1, 2, …, n).
В частности:
f΄ 
p · - f(0),
f΄΄(t) p2 · - p f(0) - f΄(0),
f΄΄΄(t) p3 · - p2 f (0) – p f΄ (0) - f΄΄(0).
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
y΄΄΄-6y΄΄+11y΄-6y=0, если у(0) = 0, у΄(0) = 1, у΄΄(0) = 0.
Решение.
Переходя к изображениям по теореме дифференцирования оригинала, получим:
или
Используем элементарные приемы для разложения этой дроби на сумму, таких простейших дробей, оригиналы которых известны:
Полагая р =1, находим –5 = 2 А, откуда А = -5/2.
Полагая р =2, находим –4 = - В, откуда В = 4.
При р = 3, находим –3 = 2 С, откуда С = -3/2.
Следовательно, 
Отсюда, используя формулу (3) таблицы изображений, находим:
Пример 2. Решить систему уравнений: 
если х(0) =0, у (0) = 5.
Решение.
Перейдем к изображениям:
х΄ 
Система уравнений примет вид: 
Из первого уравнения системы выразим 
, подставим во 2-ое уравнение:
Выразим из 2-го уравнения и подставим в 1-ое:
или
Осталось найти оригинал для и . Разложим дробь на простейшие дроби:
Полагая р =-1 получаем –8 = 4 В, откуда В= -2.
Полагая р = 0, получаем 2 = -3 А, откуда А =- 
Полагая р = 3, получаем 32 = 12 С, откуда С = 
Следовательно:
.
Тогда 
Аналогично поступим с дробью для отыскивания оригинала для .
При р = -1, 8 = 4 В, откуда В = 2.
При р = 0, -1 = -3 А, откуда А = 
При р = 3, получаем 32 = 12 С, откуда С =
|
|
|
Следовательно:
Тогда 
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение методом операционного исчисления
у΄΄-2у΄-3у = е3t, если у(0) = 0, у΄(0) = 0.
Решение
Перейдем к изображениям:
y΄΄ 
y΄ 
y 
е3t 
Тогда данное дифференциальное уравнение примет вид:
или, учитывая начальные условия:
откуда
квадратный трехчлен р2- 2р – 3 можно разложить на два множителя, так как его корни р1= 3, р2 = -1: р2 – 2р – 3 = (р -3)(р+1).
Окончательно имеем: 
Осталось найти оригинал данной функции. Разложим полученную рациональную дробь на простейшие дроби:
Полагая р = -1, получаем 1 = 16 С, т.е. 
;
При р = 3, имеем 1 = 4 А, т.е. 
Сравнивая коэффициенты при р2, получим О = В +С, т. е. 
Следовательно,
откуда, используя таблицу изображений, находим искомый оригинал и решение данного дифференциального уравнения:
или
Пример 4. Решить систему уравнений: 
если х(0) = у (0) =1.
Решение.
Перейдя к изображениям имеем: 
Из 1-го уравнения системы выразим , подставим во 2-ое уравнение системы:
Из 2-го уравнения системы выразим , подставим в 1-ое уравнение:
Таким образом:
Таким образом:
Разложив, полученные дроби на простейшие, по таблице изображений найдем оригинал:
При р = 5: 12 = 10А, А = 1, 2. При р =5: 6 = 10С, С = 0,6.
При р = -5: 2 =-10В, В = -0,2. При р = -5: -4 = -10Д, Д = 0,4.
Следовательно, 
и 
Откуда 
|
|
|
