 |
Что можно сказать о новой связи между алгеброй и геометрией?
|
|
|
|
Как я уже говорил, начиная с 9 в., содержание математики изменилось, она преобразилась, и границы ее раздвинулись. Все шире распространялись греческая арифметика и геометрия. Кроме того, внутри эллинистической математики возникли другие, неведомые грекам области. Изменилась связь старых дисциплин, образовалось и множество других связей. Это имеет существенное значение для понимания всей истории математики: новые отношения между алгеброй и геометрией дали толчок к созданию методов, обладающих огромным потенциалом.
В 10 в. математики предприняли двустороннее исследование преобразования, о возможности которого до этого никто не предполагал, - речь идет о переводе геометрических задач на язык алгебры и наоборот. Они переводили алгебраические выражения в пространственные задачи, которые ранее не удавалось разрешать с помощью линейки и циркуля, а такие, как, например, проблемы деления угла на три части, двух средних величин и правильного семиугольника. Кроме того, встретившись с трудностями при использовании радикалов для решения кубических уравнений, алгебраисты, а также такие геометры, как Абу аль-Джуд (аль-Лейт), обратились к языку геометрии и применили метод кононических сечений.
Первые попытки создать основу для этих преобразований сделал Омар Хайям (ок.1048-1131). Стремясь выйти за пределы особых случаев, представляемых какой-либо одной формой кубического уравнения, он разработал теорию решения алгебраических уравнений степени меньшей или равной трем, которая одновременно давала новую модель формулировки уравнений. Затем он приступил к изучению кубических уравнений, используя кононические сечения для получения их положительных действительных решений. Для построения своей теории Омар Хайям, прежде чем сформулировать новую связь между алгеброй и геометрией, должен был четко представить себе ее. Это было начало создания теории уравнений, которая, пусть пока только экспериментально, перекидывала мост между алгеброй и геометрией.
|
|
|
В своем знаменитом математическом трактате «Алгебра» Омар Хайям сделал два знаменательных открытия, которые историки ошибочно приписывают Декарту. Это – решение в общем виде всех уравнений третьей степени помощью кононических сечений и возможность геометрических расчетов путем определения единицы длины, что явилось основополагающей концепцией.
Примерно через пятьдесят лет последователь Омара Хайяма Шарифэддин Туси сделал еще один шаг вперед. Стремясь доказать существование точки пересечения двух кривых, он вплотную подошел к задаче нахождения и разделения корней уравнения и к анализу условий, при которых они существуют. В процессе поиска решения он дал определение понятию максимальных величин для алгебраического уравнения и попытался сформулировать концепцию и методы их определения.
Это привело аль-Туси не только к разработке концепций и методов, таких, как производные функции, получившие это название в более позднее время, но также заставило его изменить свой подход. Он пришел к выводу, что необходимо исходить из геометрических мест точек, в то время как его предшественники рассматривали только совокупность свойств изучаемых объектов. Все эти открытия и выведенная на их основе теория очень важны, но они часто приписываются математикам, жившим несколькими столетиями позднее.
Таковы главные особенности диалектических связей между алгеброй и геометрией. Однако для полноты картины следует также упомянуть два явления, которые замедляли развитие новой математики. Это – трудность в использовании отрицательных чисел как таковых, в то время когда они еще не получили определения, и недостатки обозначения символическими знаками. Решить обе эти проблемы удалось лишь значительно позднее.
|
|
|
Историки традиционно делят наше прошлое на античность, средние века, Возрождение и Новое время. Насколько такое деление справедливо по отношению к математике, особенно имея в виду вклад арабов в эту науку?
Действительно, «средневековой» математике обычно противопоставляется математика «современная». В историческом плане изначальный объем знаний, накопленных латинской, византийской, арабской, а также индийской и китайской математикой, можно было бы отделить от всей совокупности трудов, созданных в период Возрождения. Однако, на мой взгляд, такая дихотомия не имеет особого значения ни в историческом, ни в эпистемологическом плане. Арабская математика, безусловно, является продолжением эллинистической математики, которая ее породила. Это относится и к математике, которая, начиная с 12 в. развивалась в латинском мире. Наконец труды, созданные на арабском и латинском языках с 9 до начала 17 в., нельзя разделять на отдельные периоды.
Наоборот, все свидетельствует о том, что характер науки оставался прежним. Это подтверждается хотя бы тем, что мы можем сравнивать труды по алгебре и вычислительным процедурам, созданные в 12 в. аль-Самавалем и в 16 в. Симоном Стивеном; открытия в теории чисел аль-Фаризи с открытиями Декарта; методы числового решения уравнений аль-Туси и работы Франсуа Виета в 14 в.; поиск максимальных величин аль-Туси и Ферма; работы аль-Хазина по интегральному диофантову анализу в 10 в. и работу Баше де Мезирьяка в 17 в. И если мы не примем во внимание труды аль-Хорезми, Абу Камиля, аль-Караджи и других, то как сможем понять труды Леонардо Пизанского и других итальянских математиков 12 и 13I вв. или математиков 17 в.?
В Европе конец 17 в. был отмечен появлением новых методов и новых областей математики. Однако все это возникло не на пустом месте и не одновременно в каждой дисциплине. Более того, линии раздела редко совпадают с появлением трудов разных ученых. В теории чисел, например, использование Декартом и Ферма алгебраических методов не было новшеством, как это порой утверждают, они просто повторили открытия аль-Фаризи. Настоящим открытием Ферма можно считать его труд 1640 г. – изобретение метода «предельного перехода» и изучение квадратичных форм. Таким образом, вклад рабских математиков занял достойное место в четкой схеме развития этой науки в 9– первой половине 17 в.
|
|
|
Задание 73. Составьте аннотацию статьи, прочитанной вами по специальности.
Задание 74. Скажите, что такое аннотация, и с какой целью она составляется. Аргументируйте свое понимание.
Задание 75. Назовите основные виды аннотаций и скажите, чем они обусловлены. Аргументируйте свое понимание.
Задание 76. Назовите составные части аннотации. Приведите пример.
Задание 77. Скажите, какова основная ошибка при составлении текста аннотации и как ее избежать. Аргументируйте свое понимание.
2.2.5. НАПИСАНИЕ РЕФЕРАТА
ТМ: Реферат – краткое изложение содержания первоисточника (книги, научной статьи и т.п.).
Реферат дает ответ на вопрос, что именно, что нового, существенного содержится в первичном документе, и передает, излагает основное содержание документа, новую проблемную информацию, содержащуюся в нем.
Виды рефератов
| Виды рефератов | Характеристика |
| 1. Информативный (реферат-конспект) | Содержит в обобщенном виде все основные положения первичного документа. |
| 2. Индикативный (указательный, или реферат-резюме) | Содержит лишь те основные положения, которые тесно связаны с темой рецензируемого документа, все второстепенное для данной темы опускается. |
| По количеству реферируемых документов рефераты подразделяются на: | |
| 1. Монографический – составленный по одному документу. | |
| 2. Обзорный – составленный по нескольким документам на одну тему. |
При написании курсовых, дипломных и диссертационных работ из всех видов рефератов особенно важны учебные информативные рефераты.
Структура и содержание реферата
| І. Вводная часть (заголовочная). | Фамилия и инициалы автора (авторов); название работы (книги, статьи); выходные данные (год, место издания, название, номер журнала, страницы). |
| ІІ.Собственно реферативная часть. 1. Вступление. | Формулировка темы (проблемы) первичного текста, которая, как правило, отражена в названии текста (статьи, книги); начало собственно реферативной части должно быть обобщающим и одновременно содержащим указания на новую информацию. |
| 3. Основная часть. | Компрессия научной информации, направленная на то, чтобы выявить и выбрать из содержания первичного документа наиболее существенную, новую информацию и представить ее в новой краткой форме в соответствии с поставленной целью по принципу «минимум знаков – максимум информации». |
| 4. Заключительная часть. | Выводы автора. |
| ІІІ. Итоговая часть (не является обязательной для информативного реферата) | Вывод, содержащий оценку работы автора (-ов) с точки зрения новизны информации и рекомендации о возможности и сфере использования изложенных идей (положений). |
|
|
|
Основные требования, предъявляемые к составлению рефератов:
1. Объективность (точное изложение существа реферируемой работы и взглядов ее автора, фиксирование только тех сведений, которые содержатся в первичном документе, без оценки излагаемого).
2. Полнота (изложение всех существенных положений, содержащихся в первичном документе).
3. Единство стиля (использование тех же языковых средств, единой терминологии, сокращений и т.д., что и в первичном документе).
4. Язык реферата должен быть литературным, точным, кратким, ясным и простым, без сложных грамматических конструкций и сложных стилистических оборотов, используются такие грамматические средства языка, которые при сжатом изложении дают максимум информации.
5. Композиция реферата должна быть внутренне логична и может отличаться от композиции первичного документа.
6. Объем реферата определяется содержанием первичного документа, количеством сведений и их научной ценностью; средний объем текста реферата: 500 печатных знаков – для заметок и кратких сообщений; 1000 печатных знаков – для большинства статей, патентов; 2500 печатных знаков – для документов большого объема; в рефератах на произведения печати по общественным наукам допускается большой объем (иногда объем таких рефератов не регламентируется); в случае важности, информативности, актуальности источника или его труднодоступности объем реферата может достигать 12 тысяч печатных знаков и более.
Клише, используемые при составлении реферата
| І. Вводная часть, вступление |
| Работа из предисловия и пяти глав (книга, монография, из введения и четырех разделов статья) состоит из введения, трех глав и заключения |
| ІІ. Основная часть |
| В первой анализируется второй главе излагается В работе третьей разделе исследуется что (книге, этой части рассматривается монографии, данной обосновывается статье) обобщается раскрывается освещается раскрывается во-первых подвергаются критике во-вторых приводятся сведения (о чем) в-третьих разбираются (какие) проблемы речь идет (о чем) говорится (о чем) |
| анализирует (что) выделяет (что) дает оценку (характеристику) (чему) излагает (что) затрагивает вопрос (о чем) Автор предлагает (что) рассматривает (что) решает (что) обращает внимание (на что) останавливается (на чем) отмечает (что) |
| По мнению автора… По определению автора… |
| ІІІ. Заключительная часть |
| В заключение (кратко) разбирается (что) автор говорит (о чем) пишет (о чем) приходит к (такому) выводу В итоге рассматривается такой вывод… Исследуя (что), автор пишет: «…». Завершая работу, автор пишет: «…». Автор заключает: «…». |
|
|
|
Задание 78. 1.Найдите и выпишите ключевые слова из каждого абзаца.
2. Составьте и запишите сложный план полученного текста, выпишите предложения, несущие основную информацию.
3. Найдите в тексте средства связи, выпишите их.
4. Напишите информативный реферат данной статьи.
Обучение писцов
Известно, что изучение арифметики начиналось на раннем этапе обучения детей, одновременно с чтением и письмом. Причем математика тогда, как, впрочем, и сегодня, считалась, чуть ли не самым трудным предметом.
Классическим текстом, которым пользовались в школах в первой половине 2-го тысячелетия до н.э., стал один из гимнов. Он посвящен Шульги, царю Ура, захватившему Северную Месопотамию (ок. 2000 г. до н.э.). В этом тексте царь хвалится своими успехами в учебе и гордо заявляет: «Я превосходно вычитаю и складываю, владею счетом и составляю счета».
Пройдет тысяча лет, и ассирийский царь Ашшурбанипал повторит в одном из своих гимнов: «Я умею находить обратные величины и произведения, которых нет в таблицах».
Как же проходило в Древнем Египте и Месопотамии обучение молодого писца, которому предстояло стать «математиком»? Как правило, это был мальчик (хотя девочкам не запрещалось учиться, свидетельств об их обучении не сохранилось). Сначала он попадал в школу, где дети богатых и могущественных людей учились вместе со своими менее обеспеченными сверстниками, которым образование иногда помогало достичь более высокого положения в обществе.
Чему же учили будущего писца в течение десяти лет? До нас дошли образцы школьных упражнений, в частности по математике, а о пребывании в школе можно судить по так называемым «диспутам писцов». Так, например, один месопотамский писец хвалится перед другим своими успехами: «Я хочу составлять таблицы мер от 1 гура овса до 600 гур, таблицы веса от 1 шекеля до 20 мин серебра, брачные контракты, торговые договоры, договоры о продаже домов, полей, рабов, заклады серебра, договоры об аренде земель, договоры о выращивании пальм и даже свидетельства об усыновлении: я знаю, как все это делать».
В другом, типичном египетском, тексте один писец поддразнивает другого: «Ты пришел сюда и прожужжал мне все уши своими делами. Я докажу, что ты - хвастун, как только ты получишь задание. Я докажу, что ты зря похваляешься: «Я писец, я надзираю за работой».
Надо построить пандус длиной 730 и шириной 55 локтей, в нем должно быть 120 секций дерева и камыша, высота в верхней точке – 60 локтей, в середине – 30, с уклоном в 15 и с основанием в 5 локтей. Сколько потребуется кирпичей?
Собрались все писцы, но ни один не знает, как сосчитать кирпичи. Все обращаются к тебе и просят: «Ты умелый писец, знаменитость, реши для нас эту задачу, друг наш!». Пусть никто не скажет: «Вот что-то, чего он не знает». Сосчитай, сколько нужно кирпичей. Смотри, вот все размеры: каждая секция имеет 30 локтей в длину и 7 в высоту».
Но все это свидетельства скорее литературные. К счастью, есть и чисто математические тексты, которыми пользовались в школах Египта и Месопотамии, причем принадлежат к двум разным периодам: одни относятся к первой половине 2-го тысячелетия до н.э., другие – к эпохе греческого и римского владычества в конце 1-го тысячелетия до н.э. Тексты эти делятся на два типа – таблицы и задачи.
Типичным примером служит вавилонская таблица квадратных корней, которая относится к началу 2-го тысячелетия до н.э. Систематизированное построение и содержание этой таблицы говорят о том, что степень абстрагирования была уже достаточно высока. А что делать, если в таблице нет нужного корня? Оказывается, его можно легко вычислить, пользуясь близкими по назначению величинами. До недавнего времени так поступали и на Западе. В Вавилоне и Египте так пользовались таблицами умножения, квадратных корней и сложения дробей. Встречаются и записи задач. Типичным примером служит египетский папирус, датируемый серединой 2-го тысячелетия до н. э. Начинается он с постановки задачи: «Дана пирамида. Его сторона - 140 локтей, уклон - 5 ладоней и 1 палец на локоть. Какова высота пирамиды?».
Здесь данные представлены уже в виде не абстрактных переменных, а конкретных чисел; затем идет решение по действиям и в конце ответ. В каждом действии используется либо полученный ранее результат, либо заданные условия.
Ни последовательность действий, ни способ решения в тексте не объясняются, но их легко понять, следуя логике вычислений: опираясь на эту модель, ученик сможет решить любую задачу такого типа. Кроме того, задачи часто сгруппированы таким образом, что ученик может тут же применить освоенный метод. Так, приведенный нами пример решается на основе предыдущей задачи, где требуется определить угол наклона пирамиды при известных длине и высоте, а вслед за ним идет задача на определение угла между боковой поверхностью и основанием конуса.
Конечно, не все задачи имеют такую практическую направленность. Главная цель занятий состояла в том, чтобы научить будущего писца применять определенные математические приемы. Важно было научиться решать, а именно поэтому многие на первый взгляд «жизненные» задачи в сохранившихся текстах далеки от реальной жизни: на вавилонской табличке записана задача, в которой для определения площади поля используется сломанный мерный стержень; в египетском документе писцу дается задание подсчитать размеры стада, исходя из числа коров, отданных сборщику налогов.
Методическая цель подобных задач и таблиц ясна. Более того, они направлены на формирование своеобразного подхода к понятиям абстракции и обобщения в математике: вместо того, чтобы пойти по пути абстрагирования со всеми новыми уровнями обобщения, египетская и вавилонская математика создала методику, в основе которой лежит набор типичных примеров, позволяющий интерполировать известные результаты на новые задачи. Подобный подход характерен и для других областей знаний древности: медицины, прорицания и астрологии. В Египте и Месопотамии они составляли особую область «рациональной практики».
Джеймс Риттер. Рождение чисел.
Задание 79. Составьте информативный реферат данной статьи.
В 7 в. арабские ученые, исследовавшие в Индии математические тексты на санскрите, сделали два важных открытия, с которыми они в дальнейшем ознакомили западный мир. Это – позиционная нотация чисел, использующая десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля, а также тригонометрия, оперирующая понятием синуса.
Далеко не случайно, что столь значительные достижения в письменности, решении вычислительных и измерительных задач были сделаны именно индийскими математиками. Это отражало традиционные интересы индийского общества; его ученые всегда с особым вкусом и талантом оперировали грамматическими формами.
В Древней Индии математика, как и все остальные научные дисциплины, подчинялась правилам и стилистическим формам санскрита, а также канонам стихосложения, поскольку большинство научных текстов было написано в стихах.
Великие математические труды на санскрите, авторами которых были члены высшей жреческой касты брахманов, обычно состоят из основного, часто криптографического, текста, представляющего собой так называемые сутры или афоризмы, либо изложенного в виде стихов, которые заучивали наизусть. Прозаические комментарии поясняют смысл эти древних трактатов, подтверждая их афористический характер, указывая на то, что эти тексты были намеренно составлены как краткое изложение мыслей учителя, выраженных в наиболее доступной для запоминания форме.
Свидетельства раннего применения цифр как графических символов можно найти в надписях, высеченных на камне и медных монетах, которые изучают археологи: так, например, в надписях Ашоки, датируемых 3 в. до н. э., есть цифры 4 и 6. Однако их редко можно встретить в чисто математических текстах. Арабские цифры, названные так из-за того, что они стали известны благодаря работам арабских авторов, фактически являются и индийскими. Однако в текстах на санскрите они почти не фигурируют, поскольку было принято обозначать их описательно или с помощью буквенных символов. Необходимо четко различать основные тексты, написанные в стихах, и прозаические комментарии, которые, собственно, и дают нам информацию о способе записи цифр в процессе вычислений.
Цифры записывались вертикально в несколько строк. По крайней мере, это следует из комментария к трактате «Арьябхатиам», сделанного Бхаскарой Старшим в 629 г. К сожалению, индийские рукописи были недолговечны и могли сохраняться в среднем лишь около трех столетий. Написанные на бумаге или пальмовых листьях, они разрушались под воздействием грибков и насекомых. Дошедшие до нас рукописи с комментариями Бхаскары являются более поздними копиями, и манера их написания не может считаться характерной для древних времен. Труд Бакхсали, датируемый 7 в., и, по-видимому, являющийся самым старым из подобных манускриптов, содержит вычисления, написанные арабскими цифрами, которые размещены в несколько строк в рамках внутри математического текста на санскрите.
Отсутствие графических символов и цифр в афоризмах и стихах классических математических текстов не означает, что такая символика полностью исключается; просто в них используются символы грамматического и риторического характера. Благодаря фактически неограниченным синонимическим возможностям санскрита, числа в нем представляются фразами и метафорами. Так, найяна (глаз) или бабу (рука) означают также число 2, агни (огонь) – 3 (с намеком на 3 ведические формы ритуального огня), а адри (гора) – 7 (ссылка на 7 гор в индийской мифологической географии). Слова «небо» и «космос» означают ноль. Порядок цифр, составляющих число, обращен порядку современных числовых систем: например, число 23 записывалось бы как агни-найня.
Такой символизм позволял передать в стихотворной форме ряд цифр, которые сегодня были бы представлены в виде таблицы. В Индии, как и во всех других странах, астрономические данные в календарях на протяжении столетий давались в числовых колонках. Но такая манера была изобретением арабов, в древних же текстах на санскрите числа записывались в виде стихотворных строф.
Другая форма числового символизма, часто используемая в астрономических и математических текстах, основывается на санскритском алфавите. Существует несколько систем такой записи. Система катапайяди, широко используемая на юге Индии, позволяет представлять очень большие числа и тригонометрические таблицы в форме мнемонических выражений, афоризмов и стихов. Этот способ достаточно гибок, и фразы, символизирующие те или иные числа, имеют также и другое значение. Например, духовное предписание акарьяваг абхедья (что буквально означает: «Нельзя изменить слову Учителя») кодирует запись числа 1434160, хронограмму 1 434 160-го дня эры Кали, в который философ Шанкарачарья осуществил определенные реформы.
Имела ли такая поэтическая форма выражения влияние на математическое мышление? Существовала ли какая-нибудь особенность в способе мышления или в социальном статусе индийских математиков, которая заставляла их излагать свои учения в литературной форме?
В Индии никогда не было ни каст математиков, ни даже настоящей математической школы. Математики, если под таковыми понимать людей, писавших на санскрите или пользовавшихся санскритскими текстами, посвященными вопросам геометрии, арифметики и алгебры, работали в тесном взаимодействии со знатоками ведического и брахманского ритуала. Будучи брахманами, или членами высшей жреческой касты санскритской культуры, они определялись среди ученых словом джотирвид – «знатоки звезд». В труды по астрономии обычно включались математические тексты, а тригонометрические выкладки входили туда только для определения угловых расстояний между звездами.
Как и вся брахманская наука (шастра), математика развивалась в основном в религиозных целях: она помогала правильному соблюдению ритуалов. Мы ничего не знаем о жизни великих индийских математиков, но можем довольно точно представить себе религиозную и научную среду, в которой они работали, потому что ее влияние ощущается в стилистике. После того как ученики зазубрили текст и он слово в слово «отпечатывался» у них в голове, учитель приводил устные примеры, дополняющие материал, и пояснял входящие в него вычисления. Таков был путь к знаниям и духовному совершенствованию.
Для решения арифметических задач традиционно использовалась датируемая 12 в. книга математика Бхаскары «Лилавати». Этим объясняется, почему она заканчивается строфой, содержащей двойной смысл, в которой автор сравнивает слово Лилавати, свою «милостивую» (это слово обозначает также «арифметика»), с женщиной, наделенной всеми добродетелями джати (что значит благородное происхождение, а в математическом смысле – приведение дроби к общему знаменателю). «Радость и счастье не покинут в этом мире того, кто крепко прижимает к сердцу кантхасакту (то есть знает наизусть)».
Фрэнсис Циммерман. Лилавати – милостивая госпожа арифметика.
Задание 80. Составьте информативный реферат и аннотацию данной статьи и дайте их сравнительно-сопоставительную характеристику с точки зрения структуры, содержания и языка.
|
|
|
