 |
1.3. Спектральное представление детерминированного сигнала
|
|
|
|
Любой периодический сигнал можно рассматривать как бесконечную сумму гармоник. Удобно представить эту сумму в виде зависимости модуля амплитуды гармоники от частоты. Такое частотное распределение амплитуд гармоник, имеющее дискретный вид для периодического сигнала (рис. 1. 2), называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) спектра этого сигнала.
Для непериодического сигнала расстояние между спектральными линиями становится равным нулю, АЧХ имеет вид непрерывной функции (рис. 1. 3).
Каждая частотная составляющая периодического сигнала в общем случае имеет фазовый сдвиг, т. е. смещение начала гармоники относительно точки, принятой за нулевую. Это смещение выражается в угловой мере (радианах, градусах). Его можно оценивать фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). Понятие ФЧХ распространяется и на непериодические сигналы.
Вся информация как о модуле амплитуды, так и о фазе частотных составляющих содержится в функции, называемой спектральной плотностью сигнала [1].
Рис. 1. 2. Пример амплитудно-частотной характеристики периодического сигнала:
(А – модуль амплитуды гармоник, n - частота гармоник)
Рис. 1. 3. Пример АЧХ апериодического сигнала
Спектральная плотность 
сигнала связана с сигналом E(t) прямым преобразованием Фурье:
| (1. 1) |
и наоборот, сигнал E(t) может быть найден по его спектральной плотности обратным преобразованием Фурье:
| (1. 2) |
По формуле Эйлера
| exp(±ix) = cosx ± isinx. | (1. 3) |
Используя формулу Эйлера (1. 3), спектральную плотность , определяемую выражением (1. 1), можно представить как алгебраическую сумму вида:
| = A(v) – iB(v),
| (1. 4) |
|
|
|
где A(v) и B(v) – соответственно косинус- и синус-преобразования Фурье, рассчитываемые по формулам
| (1. 5) | |
| (1. 6) |
Спектральную плотность можно также выразить через две другие частотные характеристики: амплитудно-частотную S(v) и фазо-частотную ФЧХ q(v):
|
| = S(v)exp(iq(v)),
| (1. 7) | ||
| где |
| (1. 8) | ||
|
| 
| (1. 9) | ||
Очевидно, что АЧХ S(v) является четной функцией, а ФЧХ q(v) – нечетной.
Сигнал E(t) можно найти, зная его АЧХ S(v) и ФЧХ q(v):
| (1. 10) |
Четность АЧХ и нечетность ФЧХ позволяет упростить выражение (1. 10) и привести его к виду:
| (1. 11) |
Значение спектральной плотности и АЧХ S(v) на нулевой частоте есть интеграл вида
| (1. 12) |
а ФЧХ q(v) обращается в нуль:
| q(0) = 0. | (1. 13) |
Пример. Найдем АЧХ S(v) и ФЧХ q(v) сигнала E(t), представляющего собой прямоугольный импульс (рис. 1. 4).
Рис. 1. 4. График прямоугольного импульса
Сначала вычислим синус- и косинус-преобразования Фурье A(v) и B(v), используя формулы (1. 5) и (1. 6). Бесконечные пределы в данном конкретном случае заменяем на – tэ/2 и tэ/2. Внутри этих пределов значение сигнала E(t) равно A. Выражение (1. 6) в данном случае есть интеграл с симметричными пределами нечетной функции (сигнал E(t) – четная функция, синус – нечетная, их произведение – нечетная функция). Следовательно, в данном случае, как и для всех четных сигналов, синус-преобразование B(v) обращается в нуль. Расчет косинус-преобразования A(v) по формуле (1. 5) приводит к интегралу вида
| (1. 14) |
После интегрирования правой части выражения (1. 14) получим:
 .
| (1. 15) |
Чтобы упростить формулу (1. 15), используем функцию вида
 .
| (1. 16) |
Тогда выражение (1. 15) примет вид:
| A(v) = Atэsinc(π vtэ). | (1. 17) |
|
|
|
Так как в данном случае из-за четности сигнала B(v) = 0, то
| S(v) = A(v) = Atэsinc(π vtэ). | (1. 18) |
График S(v) схематично приведен на рис. 1. 5 и представляет собой четную функцию, осциллирующую относительно оси v с постоянным периодом и убывающей амплитудой. При нулевом значении v функция sincx равна 1 (отношение величин при их стремлении к нулю заменяется отношением производных).
Рис. 1. 5. АЧХ прямоугольного импульса
ФЧХ сигнала q(v), вычисляемая по формуле (1. 9), равна нулю, т. к. функция B(v) обратилась в нуль. ФЧХ равна нулю для всех четных сигналов.
|
|
|
