Моды поперечных колебаний непрерывной струны
Рассмотрим случай, когда N велико, тогда для двух первых мод между двумя соседними узлами окажется очень много грузов. Смещение будет медленно меняться от одного груза к другому, тогда можно считать, что все частицы в окрестности точки (x,y,z), соответствующей положению равновесия имеют один и тот же мгновенный вектор смещения Пусть в состоянии равновесия струна растянута вдоль оси Х. Тогда координата х даёт положение равновесия каждого груза:
смещение вдоль оси Х -продольное, а вдоль осей Z и Y - поперечное. Для поперечных колебаний струны
Для простоты положим, что колебания происходят только вдоль оси Z (Ψy =0). В этом случае говорят, что колебания линейно поляризованы вдоль оси Z. Попытаемся найти нормальные моды непрерывной струны, которые представляют собой стоячие волны. Предположим, что мы возбудили какую-то моду, и все части струны совершают гармоническое движение с одинаковой частотой ω и одинаковой фазовой постоянной φ. Тогда функция В случае непрерывной струны амплитуда колебаний для различных степеней свободы (то есть геометрия моды) может быть представлена в виде непрерывной функции от х – А (х). Функция А (х) характеризует моду; каждой моде соответствует своя А (х), тогда общее выражение для стоячей волны имеет вид:
Для ускорения получаем:
Вторая производная (2.15) по х равна
Здесь знак частной производной ∂ заменен знаком полной производной d, так как А не зависит от времени. Подставим (2.16) и (2.17) в общее уравнение волны и заменим y на тогда имеем:
Это уравнение определяет геометрическую форму моды. Здесь
-каждой моде (то есть частоте ω) соответствует своя форма. Уравнение (2.18) совпадает с уравнением гармонического осциллятора, в котором время заменено координатой. Решение этого уравнения имеет вид: Тогда
Дополним выражение (2.19) граничными условиями. Струна закреплена на концах, то есть при x= 0 и x=L
-это длины волн всех возможных мод, возникающих в струне. Для частот имеем: Частоты Важно помнить, что для всех гармоник (для всех мод) выполняется соотношение
Если отношение ω/k зависит от длины волны, а значит и от частоты, то волны называют диспергирующими. График зависимости ω от Эффект Доплера Рассмотрим волну, распространяющуюся в упругой среде. На некотором расстоянии от источника волны располагается устройство, воспринимающее колебания (приемник). Если источник и приемник неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых источником, будет равна частоте
Если источник неподвижен и колеблется с частотой
Мимо неподвижного источника пройдут за секунду гребни и впадины, укладывающиеся по длине
Подставив
Если расстояние между источником и приемником сокращается, воспринимаемая приемником частота оказывается больше частоты источника
Лекция 8 2 .10. Электромагнитные волны 2.10.1. Волновые уравнения для электромагнитного поля. Плоские и сферические электромагнитные волны. Волновой вектор. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Основные свойства электромагнитных волн Итак, переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. Это переменное магнитное поле порождает электрическое и т.д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем заряды пространстве возникает последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс является периодическим в пространстве и во времени и представляет собой волну. Найдём уравнение этой волны. В случае однородной нейтральной непроводящей среды с постоянными проницаемостями ε и μ имеем:
Поэтому уравнения Максвелла можно записать в виде:
Возьмём ротор от обеих частей уравнения (2.20): Изменим порядок дифференцирования по координатам ( Подставив выражение (2.22), получим
Взяв ротор от обеих частей уравнения (2.22) и произведя аналогичные преобразования, получим:
(2.24)и (2.25)– это типичные волновые уравнения. Они описывают электромагнитную волну, фазовая скорость которой Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями ε и μ (ρ =0, Уравнения (2.29) и (2.28) показывают, что Еx не зависит ни от х, ни от t. Уравнения (2.27) и (2.26) дают такой же результат для Нх. Следовательно, отличные от нуля Ех и Нх могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на электромагнитное поле волны. Само поле волны не имеет составляющих вдоль оси Х. Отсюда следует, что векторы
Два последних уравнения (2.26) и (2.28) можно объединить в две независимые группы: Первая группа уравнений связывает компоненты Ey и Hz, вторая – компоненты E zи Hy. Допустим, что первоначально было создано переменное электрическое поле Еу, направленное вдоль оси У. Согласно второму из уравнений (2.30) это поле создаёт магнитное поле Нz, направленное вдоль оси Z. В соответствии с первым уравнением (2.30) поле Нz создаёт электрическое поле Еу, и т.д. Ни поле Еz, ни поле Ну при этом не возникают. Аналогично, если первоначально было создано поле Еz, то согласно уравнениям (2.31) появится поле Ну, которое возбудит поле Еz, и т.д. В этом случае не возникают поля Еу и Нz. Таким образом, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из систем уравнений (2.30) или (2.31), положив компоненты, фигурирующие в другой системе, равными нулю. Возьмём для описания волны уравнение (2.30), положив Подставим ∂ Hz/∂x из второго уравнения, получим волновые уравнения для Еу:
Здесь заменили Продифференцируем по х второе уравнение из (2.30), найдём после аналогичных преобразований волновое уравнение для Hz:
Полученные уравнения представляют собой частные случаи уравнений (2.23) и (2.24). Так как Ex=Ez =0 и Hx=Hy =0, то Ey=E; Hz=H. Индексы у и z при E и H мы сохранили, чтобы подчеркнуть, что Простейшим решением уравнений (2.32) и (2.33) является:
где ω – частота волн, Подставим (2.34) и (2.35) в (2.30):
Для удовлетворения этих уравнений необходимо, чтобы Перемножим два последних равенства: Таким образом, колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одной фазе Для волны, распространяющейся в вакууме В векторной форме (2.34) и (2.35) примут вид Векторы
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|