Размерность и базис векторного пространства.

Определение. Линейным подпространством линейного пространства L называется подмножество K векторов пространства L, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число, т.е. из того, что векторы X,Y Î K, следует, что X + Y и aX принадлежат K.

Определение. Множество всех линейных комбинаций векторов А_1, А₂,..., А_n Î L a₁ А₁ + a₂ А₂ +...+ a_n А_n, a_i Î R, называется пространством, порожденным векторами А_1, А₂,..., А_n. (Проверьте, что оно является линейным подпространством векторного пространства L).

Если линейное подпространство К векторного пространства L не совпадает с ним, то его часто называют гиперплоскостью.

Определение. Набор векторов А_1, А₂,..., А_n Î L называется базисом пространства L, если выполняются два условия:

1. векторы А_1, А₂,..., А_n Î L линейно независимы;

2. пространство, порожденное векторами А_1, А₂,..., А_n Î L, совпадает с L, или всякий вектор пространства L линейно выражается через эти векторы.

Например, набор векторов E₁, E₂,..,E_n, у которых все координаты, кроме i-ой, равны нулю, а i-ая координата равна 1, является базисом в пространстве Rⁿ. Сами векторы E _i, i= 1,... n называют базисными.

 

Утверждение. Все базисы векторного пространства L, содержат одно и то же число векторов, которое называется размерностью dim(L) векторного пространства L.

Например, размерность Rⁿ равна dim(Rⁿ) = n.

Утверждение. Любой вектор A линейного пространства можно единственным способом разложить по базису, т.е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов: A = a₁ А₁ + a₂ А₂ +...+ a_n А_n (7.1), где А_1, А₂,..., А_n - базисные векторы, а числа a_i (i = 1, 2,... n) – компоненты (координаты) вектора A в базисе А_1, А₂,..., А_n.

Замечание:

1) Базисом в 3-х мерном пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3) Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

 

В связи с этим можно записать следующие свойства:

- равные векторы имеют одинаковые координаты,

- при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ;

+ = .

 

Евклидово пространство.

Ранее мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на число, ввели понятие размерности и базиса, теперь в данном пространстве введем метрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно сделать, если ввести понятие скалярного произведения.

Определение. Скалярным произведением двух векторов X = (x₁, x₂,..., x_n) и Y = (y₁, y₂,..., y_n) называется число (Х,У) = x₁y₁ + y₂x₂ +... + y_nx_n (8.1)

Скалярное произведение имеет экономический смысл: если X = (x₁, x₂,..., x_n) – это вектор объемов различных товаров, а Y = (y₁, y₂,..., y_n) – вектор их цен, то скалярное произведение (Х,У) = x₁y₁ + y₂x₂ +... + y_nx_n выражает суммарную стоимость этих товаров.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. (X,Y) = (Y,X) – коммутативное свойство;
2. (X,Y + Z) = (X,Y) + (X,Z) – дистрибутивное свойство;
3. ( a X,Y) = a (X,Y) – для любого действительного числа a;
4. (X,X) > 0, если Х – ненулевой вектор; (X,X) = 0, если X – нулевой вектор.

Определение. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам с 1 по 4 (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора Х в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

(8,2).

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен p/2 (т.к. cosp/2 = 0)/

Векторы e₁,e₂,... e_n n -мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. (e_i,e_j) = 0 при i ¹ j и ç e_i ç= 1 при i = 1,2,...n.

Теорема (без доказательства). Во всяком n -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является система n единичных векторов e_i, у которых i – ая компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю: e₁ = (1, 0,... 0), e₂ = (0, 1,..., 0),..., e_n = (0, 0,..., 1).

 

Линейные операторы.

Рассмотрим два линейных пространства: Rⁿ размерности n и R^m размерности m.

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору Х пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор Y пространства R^m, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) А(Х) и записывают Y = A(X).

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов X и Y пространства Rⁿ и любого числа a выполняются соотношения:

1. A(X+Y) = A(X)+A(Y) – свойство аддитивности оператора;

2. A(aX) = aA(X) – свойство однородности оператора.

Вектор Y = A(X) называется образом вектора Х, а сам вектор Х – прообразом вектора Y.

Если пространства Rⁿ и R^m совпадают, то оператор А отображает пространство Rⁿ в себя. Именно такие операторы мы и будем рассматривать в дальнейшем.

Линейный оператор полностью определяется своими значениями на базисных векторах. В самом деле. пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом e₁,e₂,... e_n задано линейное преобразование А. Тогда векторы А(e₁), А(e₂),..., А(e_n) - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

А(e₁) = a₁₁ e₁ + a₂₁ e₂ +…+ a_n1 e_n

А(e₂) = a₁₂ e₁ + a₂₂ e₂ +…+ a_n2 e_n

……………………………….

А(e_n) = a_n1 e₁ + a_n2 e₂ +…+ a_nn e_n

Тогда таблица (матрица) n´n А = называется матрицей линейного преобразования А.

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. И наоборот, каждой матрице размерности n´n соответствует линейный оператор n- мерного пространства.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: