Полярная система координат.
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из точки луча l, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Обычно считают положительными повороты против часовой стрелки. Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью. Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.
М
r r =
j l Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох. Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями: x = rcosj; y = rsinj; x2 + y2 = r2
Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:
Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат:
Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна
y
F1 F2 -1 0 ½ 1 2 x
-
Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:
Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат.
Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c2 = a2 + b2; c = 5; e = c/a = 5/4. Фокусы F1(-10; 0), F2(0; 0).
Построим график этой гиперболы.
y
F1 -9 -5 -1 0 F2 x
-3
Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение поверхности и линии в пространстве. Определение. Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ координаты x, y, z связаны уравнением F(x,y,z) = 0 (1.1). Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z (1.1.), является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки M(x,y,z), принадлежащей S и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.
Линию в пространстве L можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением. Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L. Тогда систему двух уравнений назовем уравнением линии L в пространстве.
Плоскость в пространстве. Пусть Р – произвольная плоскость в пространстве. Точка М0(x0, y0, z0) Î Р. Вектор Необходимо получить уравнение плоскости.
Решение. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор
Таким образом, получаем уравнение плоскости
Уравнение (5.1) называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку. Легко показать, что уравнение (5.1) приводится к виду: Ax + By + Cz + D = 0 – уравнение 1-ой степени относительно переменных координат х, у, z (D = -Ax0 – By0 – Cz0). Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0, (5.2)
где А, В, С – координаты вектора Рассмотрим особенности расположения плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты уравнения (5.2) обращаются в нуль. Частные случаи общего уравнения плоскости:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|