Вычисление определённого интеграла.
⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 16
5.1. Формула Ньютона – Лейбница.
Например,
5.2. Интегрирование подстановкой. Замена переменной. Теорема. Если: 1) 2)множество значений функции 3) и при этом то Доказательство: Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на отрезке [ а;в ]. Тога по формуле Ньютона- Лейбница Покажем, что (1) равна (*).
Тогда по формуле Ньютона – Лейбница Отметим некоторые особенности этой формулы: 1) при вычислении определённого интеграла по формуле (1) возвращаться к старой переменной не надо. 2) часто вместо подстановки 3) обязательно надо менять пределы интегрирования при замене переменной. Примеры: 1) 5.3. Интегрирование по частям в определённом интеграле. Теорема: Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [ а;в ], то имеет место
Доказательство: для всех Примеры: Геометрическое применение определённого интеграла. 6.1. Вычисление площадей плоских фигур.
Из геометрического смысла интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс (f(x)≥0), равна определенному интегралу:
S-?: y=
Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x)<0),то площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу, взятому с противоположным знаком («-»).
Пример: у=
х
Формулы 1 и 2 можно объединить: S=
Площадь фигуры ограниченной кривыми
а в х
Пример: Найти S трапеции, ограниченной
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу её можно разбить на части, так, чтобы можно было применить уже известные формулы.
sin x=cos x*cos x tg x=1 x=
Аналогично если криволинейная трапеция ограничена прямыми у=с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х=φ(у)
Пример: Найти S фигуры, ограниченной кривой
6.2. Вычисление объёма тела вращения. 1)Пусть криволинейная трапеция аАВв, ограниченная графиком неопределённой функции y=f(x)
Эта трапеция опишет тело, которое называется телом вращения. Найдем его объём(V). Разделим отрезок
Тогда, объём всего тела
2) Внутри каждого частичного отрезка 3) Составим сумму объёмов элементарных цилиндров Сумма (1) есть интегральная сумма 4) Выберем шаг деления 5) За объём тела вращения примем lim интегральной суммы (1) при Если предел (2) существует и конечен, а f(x)- непрерывная функция, то предел (2) существует и равен определённому интегралу функции
![]() Замечание: Если криволинейная трапеция cCDd ограничена графиком напрерывной функции
Примеры: 1)Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями
![]() ![]()
2) Найти объём тело, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|