Классификация случайных процессов при технической эксплуатации автомобилей

Для описания сложных технических систем, в частности СМО, наиболее рас­пространенным является аппарат марковских случайных процессов (названный в честь знаменитого русского математика А.А. Маркова). Их особенность заклю­чается в том, что вероятность любого состояния системы (например, автомобиля, группы автомобилей) в будущем зависит только от ее состояния в настоящее время и не зависит от того, когда и какими путями система пришла в это состояние. Действительно, работоспособность автомобиля в будущем зависит только от его фактического технического состояния, к которому автомобиль может прийти по-разному.

Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным време­нем (непрерывные цепи Маркова) характеризуют функционирование систем, у ко­торых переход из одного состояния в другое происходит в случайные моменты времени, а сами состояния дискретны, например изделие работоспособно или отказало.

Если возможные состояния системы 5_Ь 5₂,..., 5„ определены, то это марковский случайный процесс с дискретным состоянием, который выражается в том, что система скачком переходит из одного состояния в другое S_k —> S_k+\. Если переходы осуществляются в заранее зафиксированные моменты времени (напри­мер, при ТО) t\, ь,..., t_k, то это марковский случайный процесс с дискретным време­нем, а последовательность случайных переходов называется марковской цепью. Марковские процессы хорошо иллюстрируются графом состояния системы, на котором прямоугольниками отмечены сами состояния, а стрелками - направле­ния переходов. Если на графе у стрелок указаны вероятности или плотнос­ти вероятности перехода, то он называется размеченным графом состояний (рис. 6.1).

 

Для марковского процесса с дискретным состоянием и непрерывным временем рассматриваются плотности вероятностей X переходов системы за время At из состояния Si в состояние S/.

где Рц - вероятность того, что за At система перейдет из состояния 5, в состояние Sj.

При малом At Pj,{At) «X^At. Если все Хи не зависят от г, то процесс называется однородным, а в противоположном случае - неоднородным.

Имея данные по плотностям вероятностей переходов Х\и можно рассчитать вероятности всех состояний системы в разные моменты времени, т.е. определить вероятность первого состояния P\(t), второго Pi(t) и т.д.

Эти вероятности определяются из системы дифференциальных уравнений А.Н. Колмогорова, составляемых по следующим правилам:

1) в левой части уравнения помещается производная вероятности соответст­
вующего состояния, например &P_xl&t;

2) правая часть содержит столько членов, сколько переходов (стрелок в
размеченном графе) связано с данным состоянием;

3) каждый член правой части уравнения равен произведению плотности
вероятности перехода на вероятность того состояния, из которого переход осу­
ществляется;

4) знак "+" ставится перед членами правой части уравнения при переходе в
данное состояние, а знак "-" - при выходе из данного состояния.

Например, для размеченного графа состояний, изображенного на рис. 6.1, записывается система уравнений:

В уравнении для краткости опущены индексы г, т.е. вместо Р_х(0 записано Р_х и т.д.

Так называемые предельные состояния (при t —> «>)» когда Pj = const, опре­деляются из приведенной системы уравнений, у которых левые части приравни­ваются нулю, и условия, что Р_} + Р₂ + Рз + Ра = 1- Эти финальные вероятности

 

 

характеризуют среднее время пребывания системы в соответствующих состояниях S\, 52, S3 ^и^4> ^а в общем виде: S\,S₂,..., S_n.

Одним из распространенных случаев марковского процесса с дискретным состоянием и непрерывным временем являются простейшие процессы, или потоки, обладающие свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия.

Стационарным является поток, при котором вероятность возникновения событий (например, отказов) в течение определенного промежутка времени (или пробега) зависит только от длины этого промежутка и не зависит от начала отсчета времени. Для стационарного потока за наработку X количество событий (отказов, требований)

Ординарность означает, что вероятность возникновения на элементарном отрезке времени двух или более событий пренебрежима по сравнению с длиной самого участка. Применительно к описанию надежности ординарность означает, что одновременное возникновение двух разных отказов у автомобиля практически мало вероятно.

Отсутствие последствия - это независимость характера потока от числа ранее поступивших отказов и моментов их возникновения. На практике сумми­рование не менее шести-восьми элементарных потоков приводит к образованию простейшего или близкого к нему потока.

Для простейшего потока отказов вероятность возникновения определенного числа отказов в течение времени определяется законом Пуассона:

В реальных условиях производства значение t обычно принимают равным 1,

Используя последнюю формулу, можно установить вероятность появления определенного числа требований Р_к при известном значении а.

вероятность появления одного требования- 0,15; двух- 0,22; трех- тоже 0,22; четырех-0,16 и т.д. (рис. 6.2). Таким образом, загрузка постов и оборудования носит вероятностный характер: в примере у 22% всех смен будет фактическое число требований, совпадающее со средним, у 42% (5 + 15 + 22) загрузка будет меньше, а в 36% (100-22-42) случаев- больше средней.

Следовательно, расчет производственных помещений, оборудования, штата рабочих, т.е. пропускной способности предприятия (участка, поста), исходя из средней потребности может привести или к неполной загрузке зон и участков, или к необходимости ожидания момента обслуживания, т.е. к образованию оче­реди требований. Иными словами, необходима оптимизация систем обслуживания, под которой понимается соответствие функционирования этих систем опре­деленным критериям эффективности. При этом возможны два подхода, которые условно можно назвать внутренними (для предприятия) и внешними (для кли­ентуры).

 

По мере роста показателей, влияющих на пропускную способность средств обслуживания Z (число постов, исполнителей, оснащение технологическим обору­дованием и инструментом), затраты, связанные с простоем автомобилей в ожи­дании обслуживания, сокращаются (кривая / на рис. 6.3), а затраты, вызванные простоем средств обслуживания и персонала в ожидании загрузки, возрастают (кривая 2 на рис. 6.3).

Минимальное значение суммы этих затрат (кривая 3 на рис. 6.3), являющейся целевой функцией, и будет соответствовать оптимальной структуре обслуживания (например, число постов, исполнителей), при которой минимизируются потери предприятия, связанные с простоем средств обслуживания, ожиданием объектов обслуживания.

При втором подходе, характерном для обслуживания внешней по отношению к предприятию клиентуры, целевая функция направлена на максимизацию при­были /7_Z, получаемой от функционирования системы обслуживания, при разных показателях Z. В этом случае наблюдается несколько зон функционирования системы обслуживания (рис. 6.4).

Характерным признаком рассматриваемого закона Пуассона является ра­венство дисперсии среднему значению, поэтому коэффициент вариации пото-

Рис. 6.3. Определение показателей пропускной способности систем обслуживания технико-экономическим методом

Затраты: / - от простоев автомобилей; 2 - системы обслуживания в ожидании требований на обслуживание; 3 - суммарные

 

Рис. 6.4. Зависимость прибыли от показателей Z системы обслуживания предприятия

А, Е - зоны убытков предприятия: А - в результате недостаточной пропускной способности средств обслуживания (очередь, потеря клиентуры); Е - в результате недогрузки и простоев средств обслуживания; В, D - зоны устойчивой, но разной, С - максимальной при оптимальных показателях прибыли

ка требований v = я^-05. Это означает, что с увеличением программы вариация ее фактического значения сокращается. Например, при средней программе

я=1, |/=1; я = 3, 1^ = 0,58; а = 5, i/ = 0,45; я = 25, ^=0,2,

т.е. распределение становится более симметричным с увеличением программы (см. рис. 6.2 при а = 6), что благоприятно сказывается на организации технологического процесса ТО и ремонта. Поэтому укрупнение предприятий, централизация и кооперирование ТО и ремонта, приводящие к увеличению программы работы, -это направления совершенствования технической эксплуатации автомобилей.

Еще одним важным свойством простейшего потока является то, что изменение промежутка времени между двумя соседними событиями (требованиями) подчи­няется экспоненциальному закону распределения, для которого х = 1/со; х = a; v = 1.

Если поток обладает только двумя свойствами (ординарностью и отсутствием последствия), то он называется нестационарным пуассоновским, и тогда в течение смены число событий за интервал (Г, t + х) определяется следующим образом:

Стабилизация параметра потока отказов или ее приведение на отдельных участках к стабильному значению (см. рис. 4.6) позволяет рассматривать потоки как простейшие, или пуассоновские, и применять для характеристики потока уравнение Пуассона.

Если в марковских процессах с непрерывным временем все дискретные состояния располагаются в последовательную цепь с переходами, показанными на рис. 6.5, то это так называемый процесс гибели и размножения. Очевидно, для первого состояния имеется равновесие У^\гР\ = А. 21^2» Д^ля второго состояния

 

 

Например, на крупном АТП имеется компрессорная станция, состоящая из трех одинаковых компрессоров, средняя наработка на отказ каждого из которых составляет х. Поток отказов простейший. Среднее время ремонта равно f_p. Определить среднюю произ­водительность станции при условии, что производительность трех компрессоров W\ = 100%: двух - W₂ = 70% и одного - W₃ = 35%.

Поток отказов одного компрессора по условию является простейшим с экспо­ненциальным распределением наработки между отказами и параметром Х= 1/ *.

Если работают все три компрессора (состояние S\), то потоки отказов суммируются и возрастают в три раза, т.е. А,₁₂ = З/Зс (см. рис. 6.5, а). При работе двух компрессоров (состояние S₂) ^23 ⁼ 2/Зс, одного (состояние 5₃) - А.34 =1/*- При состоянии 5₄ все три компрессора ремонтируются.

В рассматриваемой модели необходимо учитывать не только интенсивность отказов, но и интенсивность восстановления ц., которая при экспоненциальном законе распределения продолжительности восстановления равна величине, обратной средней продолжительности

Если средняя наработка на отказ будет ниже, например 32 ч, то вероятности соответ­ственно составят: Р_х = 0,702; Р₂ = 0,265; Р_ъ = 0,032; Р_А = 0,001, а средняя производительность компрессорной станции сократится до 0,89W_b или на 4,5%.

 

 

Если в марковском процессе с непрерывным временем дискретные состояния связаны между собой в одно кольцо и имеют односторонние переходы, то такой процесс называется циклическим. Например, автомобиль последовательно (рис. 6.5, б) может быть исправным и работать (S\), ожидать ремонта (£₂), ремон­тироваться (£₃), ожидать работы после ремонта (S₄) и снова работать (S_}). Плот-

Преимуществом теоретических моделей (типа (6.3)-(6.10) и др.) в отличие от экспериментального подхода, который фиксирует простейшие события и пока­затели, соответствующие определенному моменту времени и состоянию системы, является возможность предвидеть поведение и состояние системы при изменении действующих на нее факторов.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: