Игры с седловой точкой в чистых стратегиях
Определение 4. Парная игра, в которой сумма выигрышей игроков равна нулю (выигрыш первого игрока равен проигрышу второго игрока) называется парной игрой с нулевой суммой или антагонистической игрой. Замечание. Всякую парную игру с нулевой суммой всегда можно полностью задать платёжной матрицей одного из игроков. Как правило, задают платёжную матрицу первого игрока. Предполагается, что все игроки одинаково разумны. Задача каждого игрокасостоит в том, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях другого игрока. Пусть платёжная матрица первого игрока в игре двух игроков, имеющих соответственно Построим оптимальные стратегии игроков в антагонистической игре. Оптимальная стратегия первого игрока. Первый игрок желает получить максимальный собственный выигрыш. При этом он предполагает, что в любом случае второй игрок выберет стратегию, минимизирующую выигрыш первого игрока. Задача первого игрока – получить некоторый гарантированный выигрыш. Обозначим минимальное значение выигрыша первого игрока при каждой его стратегии (в каждой строке матрицы Определение 5. Величина Таким образом, формально оптимальная стратегия первого игрока состоит в выборе строки и в ней элемента матрицы
Оптимальная стратегия второго игрока. Второй игрок желает минимизировать собственный проигрыш. При этом он предполагает, что в любом случае первый игрок выберет стратегию, максимизирующую собственный выигрыш. Задача второго игрока – проиграть не более некоторой гарантированной суммы. Обозначим максимальное значение выигрыша первого игрока при каждой стратегии второго игрока (в каждом столбце матрицы Определение 6. Величина Таким образом, формально оптимальная стратегия второго игрока состоит в выборе столбца и в ней элемента матрицы Теорема 1. Для произвольной прямоугольной матрицы всегда выполняется неравенство Определение 7. Если верхняя цена игры равна нижней, то есть Определение 8. Значение Определение 9. Элемент матрицы Замечание. Седловой элемент матрицы Определение 10. Пару чистых стратегий Замечание. Стратегии
Определение 11. Тройка Пример 2.4 [2]. В игре участвуют два игрока. Каждый из них может записать независимо от другого цифры 1, 2 и 3. если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами. Если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность нулевая, то игра заканчивается вничью. Составить платёжную матрицу и найти цену игры. Решение. У игрока А есть 3 стратегии: У игрока В также есть три стратегии: Данная игра является парной игрой с противоположными интересами (антагонистической), следовательно, для её формального описания достаточно задать платёжную матрицу первого игрока. Вычислим возможные выигрыши первого игрока:
Тогда платёжная матрица первого игрока примет вид:
Найдём оптимальную стратегию первого игрока. Для этого найдём минимальный выигрыш при каждой его стратегии (минимальный элемент в каждой строке):
Найдём нижнюю цену игры (выберем из минимальных элементов наибольший):
Таким образом, оптимальная стратегия первого игрока:
Найдём оптимальную стратегию второго игрока. Для этого найдём максимальный выигрыш первого игрока при каждой стратегии второго игрока (максимальный элемент в каждом столбце):
Найдём верхнюю цену игры (выберем из максимальных элементов наименьший):
Таким образом, оптимальная стратегия второго игрока:
Отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш. Отклонение второго игрока от оптимальной стратегии увеличивает его проигрыш. Ответ.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|