Упрощение платёжных матриц
Поиск оптимальных стратегий тем сложнее, чем больше размерность платёжной матрицы. Поэтому поиск оптимальных стратегий начинают с упрощения платёжной матрицы. Определение 20. Если в платёжной матрице элементы Определение 21. Если в платёжной матрице элементы Определение 22. Стратегии Замечание. Дублирование является частным случаем доминирования. Игрокам выгоднее пользоваться доминирующими стратегиями. Поэтому вероятность применения доминируемых стратегий равна нулю. Исключая из платёжной матрицы доминируемые стратегии, можно уменьшить её размерность, что упрощает решение игры. При исключении доминируемых стратегий цена игры не меняется. Теорема 4. Оптимальные смешанные стратегии На основании теоремы 4 платёжную матрицу всегда можно преобразовать так, что её элементы будут целыми неотрицательными числами, что упрощает расчёты. Пример 2.6 [2]. Найти решение игры, заданной платёжной матрицей:
Решение. 1) Найдём верхнюю и нижнюю цены игры:
Так как 2) Исключим доминируемые (невыгодные) стратегии первого игрока. Так как все элементы строки
3) Исключим доминируемые стратегии второго игрока. Все элементы столбцов 4) Найдём седловую точку матрицы Пусть оптимальные стратегии игроков определяются, соответственно векторами вероятностей Функция выигрыша будет иметь вид:
Так как, согласно теореме о минимаксе, требуется найти максимум функции выигрыша, то должно быть В ней содержится 3 уравнения и 5 неизвестных. Для отыскания Так как по теореме 3 значения
Так как Таким образом, вероятности оптимальных стратегий первого игрока Применяя аналогичный приём для отыскания
Сгруппируем слагаемые в этом уравнении относительно
Так как значения
Так как Таким образом, вероятности оптимальных стратегий второго игрока Подставим найденные оптимальные вероятности смешанных стратегий в функцию выигрыша, найдём цену игры:
Ответ:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|