Нормальный закон распределения
В качестве закона распределения случайных ошибок измерения чаще всего принимается нормальный закон распределения (закон Гаусса). Плотность нормального распределения равна где параметр На рис. 3.2 показаны кривые плотности нормального распределения при различных значениях Случайная величина, у которой математическое ожидание равно 0, а дисперсия равна 1, называется стандартной или стандартизованной случайной величиной. При М = 0 и На рис. 3.3 представлены перцентильные ранги из табл. 3.1.
Рис. 3.2. Кривые плотности Рис. 3.3. Накопленные нормального распределения значения процентов площади под нормальной кривой В литературе встречаются разные обозначения математического ожидания: М, а, z, σ. Z –оценка [ Z = (Х - М) / Например, рассмотрим распределение коэффициентов IQ. Это распределение является нормальным со средней, равной 100, и стандартным отклонением, примерно равным 15.
Фактически стандартное отклонение распределения коэффициентов IQ равно 16. Однако, чаще используется значение, равное 15, поскольку с ним и коэффициентами, равными 5 или 10, удобнее работать, что реализовано в табл. 3.1. Таблица 3.1 Значения коэффициентов IQ, их Z –оценки и перцентильные ранги
Характеристики Z –оценок: 1. Например, рассчитаем значение z –оценки, соответствующей коэффициенту IQ, равному 80: Z = (Х - М) / Полученный результат, а также значения, приведенные в табл. 3.1, свидетельствуют о том, что коэффициентам, величина которых меньше средней арифметической, соответствуют отрицательные Z – оценки. И наоборот, коэффициентам, величина которых превышает значение средней, соответствуют положительные Z – оценки. 2. Воспользуемся табл. 3.1 для того, чтобы выразить Z –оценки в терминах, имеющих более содержательный смысл. Так, Z –оценка, равная -0,67, означает, что соответствующее ей значение коэффициента IQ на 0,67 стандартного отклонения меньше средней арифметической. Коэффициент IQ, равный 130, на два стандартных отклонения больше средней (Z=+2,0). Коэффициент IQ, равный 80 ( расчет которого был только что выполнен), на 1,33 стандартного отклонения меньше средней и т.д. 3. На рис. 3.1 показано, какой процент наблюдений нормального распределения (характеризуемый площадью соответствующего участка графика) размещен между симметрично расположенными положительными и отрицательными Z –оценками. На участке, расположенными между Z –оценками, равными -0,67 и +0,67, заключено 50% площади графика, 68% площади на участке от -1,0 до +1,0; 99,7% площади графика расположено на участке от -3,0 до +3,0.
Z –оценки и связанные с ними значения соответствующих показателей площадей относятся к любому нормальному (и только к нормальному!) распределению. Вероятность попадания в интервал Следует отметить, что площадь под всей кривой плотности распределения равна единице или 100%. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины: в интервале в интервале Вероятность выхода за трехсигмовые пределы Нормальное распределение измеряемой величины полностью определяется величинами а и Когда n велико, то относительные частоты приближенно равны вероятностям Величина Геометрически математическое ожидание представляет собой абсциссу центра тяжести площади под кривой плотности вероятности. Закон больших чисел:
Модой (наиболее часто встречающимся значением) случайной величины Х является такое значение М о, в котором плотность вероятности имеет максимальное значение рис. 3.4. Медианой (срединным значением) случайной величины Х служит значение
Рис. 3.4. Определение Рис. 3.5. Определение моды случайной величины медианы случайной величины
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|