Решение матричной игры в чистых стратегиях
Математиком А. Вальдом был сформулирован принцип суть которого состоит в том, что при принятии решения в условиях неопределенности разумно исходить из того, что сложится наименее благоприятная ситуация. Исходя из этого принципа игрок 1 может рассуждать следующим образом: «Предположим, что я выберу
где Определение. Число Аналогично, второй игрок, также исходя из наихудшего исхода, должен рассуждать следующим образом: «Предположим, что я выберу
Тогда я должен выбрать такой столбец, т.е. Определение Число Теорема Нижняя цена игры не превосходит верхней цены игры. Если для некоторой игры верхняя и нижняя цены равны, т.е. выполняется где Сравнивая это неравенство с (3) видим, что оказывается ситуация
Определение Игра, для которой Пример. Для игровой матрицы из примера 4.1 найти седловые точки, если они есть. Нахождение нижней и верхней цен игры, равно как и проверка существования седловых точек и их нахождение, для матричных игр удобно проводить по следующей схеме Видно, что максимин имеет место в 1-й строке, т.е. при первой стратегии 1-го игрока. Минимакс - в первом столбце, т.е. при 1-й стратегии 2-го игрока. При этом они совпадают, т.е. имеется седловая точка. Это ситуация
Решение матричной игры в смешанных стратегиях
Игра, заданная некоторой матрицей, может не иметь седловой точки. Пример. Рассмотрим платёжную матрицу Для первого игрока находим максимин Для второго игрока находим минимакс Следовательно, минимакс и максимин не совпадают, т.е. положения равновесия в чистых стратегиях не существует. Если среди чистых стратегий решения игры нет, то для его нахождения используются смешанные стратегии. Справедлива теорема. Теорема Неймана (основная теорема теории игр) Каждая конечная игра имеет,по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно среди смешанных стратегий. При этом если является ценой игры. Определение. Если чистая стратегия входит в смешанную с ненулевой вероятностью, то она называется активной Активные стратегии обладают свойством, выражаемым следующей теоремой. Теорема (об активных стратегиях) Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остаётся неизменным и равным цене игры Игра с природой
Кроме антогонистических рассматривают так называемые неантогонистические игры. В этом случае предполагают, что действия противника не носят характер строгого противостояния. Его интересы могут быть разными и в общем случае не совпадающими с нашими, однако они не являются «злонамеренно» направленными против нас. Простейшим примером такой ситуации является следующая.
Предположим, что известна (в общем случае смешанная) стратегия применяемая одним из игроков. Например, из опыта предыдущих наблюдений. Этот игрок использует свою стратегию вне зависимости от нашей стратегии. Такую игру принято называть игрой с природой. Природа как бы не имея в общем желания нам навредить действует по своим законам. Пусть торговое предприятие имеет т стратегий: По платежной матрице можно принять ряд решений. Например, оценить возможные исходы: минимальный выигрыш т.е. наименьшая из величин в каждой При анализе «игры с природой» вводится показатель, по которому оценивают, насколько то или иное состояние «природы» влияет на исход ситуации. Этот показатель называют риском. Риск Исходя из этого определения можно оценить максимальный риск каждого решения: Решения могут приниматься по результатам анализа ряда критериев.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|