 |
Тема 10 Оптимальная стратегия обновления оборудования
|
|
|
|
Предприятие в начале пятилетнего периода выделило 
=4,5 млн. руб. для комплектования оборудования, стоимость единицы которого 
=1,5 млн. руб. Единица оборудования за год приносит предприятию 
=0,6 млн. руб. прибыли. Необходимо разработать такую программу пополнения оборудования, чтобы суммарная прибыль от его внедрения в течение планового периода была максимальной.
Решение.
Выигрыш – прибыль от внедрения оборудования. Управление 
– доля прибыли i -го года, идущая на закупку оборудования в следующем (i+1)-ом году: 
. Общее число единиц нового оборудования к концу i -го года обозначим через 
.
I этап. Построение целевой функции F.
Первый год. На выделенные средства предприятие закупает 
единицы оборудования. Если число получилось нецелое, то надо его округлить до меньшего целого значения и найти остаток неистраченной суммы. Суммарная годовая прибыль от приобретенного оборудования составит 
. Доля этой прибыли 
пойдет на приобретение оборудования на второй год, а доля (1- 
) останется в распоряжении предприятия (если есть остаток неистраченной суммы, то его надо прибавить к первой доли, так как эти деньги предназначены для покупки оборудования). Эта прибыль будет равна:
. (1)
Второй год. На второй год новое оборудование будет приобретаться за счет части прибыли 
, полученной в течение первого года. Эта величина равна 
. Используя ее, можно в течение второго года дополнительно приобрести 
единиц нового оборудования. Всего к концу второго года в распоряжении предприятия будет 
единиц оборудования.
На третий год на закупку нового оборудования используем долю 
прибыли, полученной за второй год. В распоряжении предприятия за второй год остается прибыль
|
|
|
. (2)
Третий год. На третий год на закупку оборудования пойдет 
млн. руб. Это позволит дополнительно закупить 
единиц оборудования. Количество оборудования к концу третьего года будет составлять
единиц.
Общая прибыль от внедрения оборудования будет равна 
. На приобретение нового оборудования на четвертый год пойдет сумма 
млн. руб. В распоряжении предприятия остается доля прибыли 
, что составит
. (3)
Четвертый год. На четвертый год на закупку оборудования пойдет 
млн. руб. Это позволит закупить дополнительно 
единиц. Количество оборудования к концу четвертого года будет 
единиц. Прибыль от его внедрения составит 
млн. руб.
На приобретение нового оборудования на пятый год пойдет сумма 
млн. руб. У предприятия останется прибыль
. (4)
Пятый год. На пятый год на закупку оборудования пойдет сумма млн. руб. Это позволит закупить дополнительно 
единиц. Количество оборудования к концу четвертого года будет 
единиц.
Так как этот год последний в плановом периоде, то выделение средств на закупку оборудования не планируется и вся прибыль остается у предприятия:
. (5)
Целевая функция данной задачи представляет собой суммарную прибыль за весь пятилетний период, которая равна сумме прибылей за каждый год:
Эта функция зависит от переменных , 
, 
, 
, 
. Таким образом, задача состоит в определении таких значений переменных, при которых F достигает максимума.
2 этап. Решение задачи «в обратном порядке».
Обозначим суммарную нарастающую прибыль, получаемую от внедрения нового оборудования через 
, то есть
.
Согласно принципу оптимальности Беллмана будем решать задача «в обратном порядке» - от пятого года к первому.
Прибыль за все пять лет:
. (6)
Прибыль за четыре года:
. (7)
Подставляя (7) в (6), получаем:
. (8)
Из формулы (8) делаем вывод о том, что 
при 
, то есть
. (9)
Прибыль за три года:
|
|
|
. (10)
Подставляя (10) в (9) и учитывая формулу для 
, получаем:
. (11)
Из формулы (11) делаем вывод о том,
при 
, то есть
. (12)
Прибыль за три года:
. (13)
Подставляя (10) в (9) и учитывая формулу для , получаем:
. (14)
Из формулы (14) делаем вывод о том, что 
при , то есть
. (15)
Прибыль за два года:
. (16)
Подставляя (16) в (15) и учитывая формулу для 
, получаем:
. (17)
Из формулы (17) делаем вывод о том, что при 
, то есть
. (18)
Прибыль за первый год и значение для 
вычислены ранее:
, 
. Подставляя их в (18). Получим:
. (19)
Из формулы (19) делаем вывод о том, что при 
, то есть
млн. руб.
Так как 
- целевая функция задачи, то решение окончено.
Ответ: максимальная прибыль за пять лет, равная 10,584 млн. руб., будет получена в том случае, если в течение первого и второго года всю прибыль направить на закупку нового оборудования(
), а в течение третьего, четвертого и пятого годов новое оборудование не покупать ( 
).
Контрольное задание №10
|
|
|
