Принципы и подходы к построению математических моделей

Математическое моделирование многие считают скорее ис­кусством, чем стройной и законченной теорией. Здесь очень ве­лика роль опыта, интуиции и других интеллектуальных качеств человека. Поэтому невозможно написать достаточно формали­зованную инструкцию, определяющую, как должна строиться модель той или иной системы. Тем не менее отсутствие точных правил не мешает опытным специалистам строить удачные мо­дели. К настоящему времени уже накоплен значительный опыт, дающий основание сформулировать некоторые принципы и под­ходы к построению моделей. При рассмотрении порознь каждый из них может показаться довольно очевидным. Но совокупность взятых вместе принципов и подходов далеко не тривиальна. Мно­гие ошибки и неудачи в практике моделирования являются пря­мым следствием нарушения этой методологии.

Принципы определяют те общие требования, которым долж­на удовлетворять правильно построенная модель. Рассмотрим эти принципы.

1. Адекватность. Этот принцип предусматривает соответствие модели целям исследования по уровню сложности и организа-

При моделирования наиболее сложных нроцессч>в (например, процессов целеобразования, с >вершенствования организационных структур и т. п.) "механизм" развития (самооргагизации) мохсет быть реализован в форме сскявегстьующей методики системного анализа (примеры которых рассматриваются в гл, вах 4, 5).

Рассматриваемый класс систем можно paiC *гь на подклассы, "выделив адаптивные или сямоприспосабливающш и системы, само­ обучающиеся системы, самовосстанавливающиес. аммоспроизво­ дящиеся и т. п. классы, в которых в различной «. er jhh реализуют­ся рассмотренные выше и еще не изученные (на рь мер, для само­воспроизводящихся систем) особенности.

При представлении объекта классом самоорга; изующихся си­стем задачи определения целей и выбора средств, ка-< правило, раз­деляются. При этом задачи определения целей, с»ыЬора средств, в свою очередь, могут быть описаны в виде самоорганизующихся систем, т. е. структура основных направления, плана, структура функциональной части АСУ должна развиваться так же (и даже здесь нужно чаще включать "механизм" развития), как и структура обеспечивающей части АСУ, организационная структура пред­приятия и т. д.

Большинство из рассматриваемых в последующих главах при­меров методов, моделей и методик системного анализа основано на представлении объектов в виде самоорганизующихся систем, хотя не всегда это будет особо оговариваться.

Рассмотренные классы систем удобно использовать как подходы на начальном этапе моделирования любой задачи. Этим классам поставлены в соответствие методы формализованного предста­вления систем (см. гл. 2), и таким образом, определив класс си­стемы, можно дать рекомендации по выбору метода, который по­зволит более адекватно ее отобразить.

Закономерности систем

Закономерности взаимодействия части и целого. В процессе изучения особенностей функционирования и развития сложных си­стем с активными элементами был выявлен ряд закономерностей, помогающих глубже понять диалектику части и целого в системе и формировать более адекватные модели принятия решений. Рассмо­трим основные из этих закономерностей.

Целостность. Закономерность целостности (эмер-джентностъ) проявляется в системе в возникновении у нее "новых интегративных качеств, несвойственных ее компонентам "[1.1].

Проявление этой закономерности легко пояснить на примерах поведения популяций, социальных систем и даже технических объ- 54

54

Глава 1

Основы системного анализа

55

 

 

ции, а также соответствие реальной системе относительно выб­ранного множества свойств. До тех пор, пока не решен вопрос, правильно ли отображает модель исследуемую систему, ценность модели незначительна.

2. Соответствие модели решаемой задаче. Модель должна стро­иться для решения определенного класса задач или конкретной задачи исследования системы. Попытки создания универсальной модели, нацеленной на решение большого числа разнообразных задач, приводят к такому усложнению, что она оказывается прак­тически непригодной. Опыт показывает, что при решении каждой конкретной задачи нужно иметь свою модель, отражающую те ас­пекты системы, которые являются наиболее важными в данной задаче. Этот принцип связан с принципом адекватности.

3. Упрощение при сохранении существенных свойств системы. Модель должна быть в некоторых отношениях проще прототи­па - в этом смысл моделирования. Чем сложнее рассматривае­мая система, тем по возможности более упрощенным должно быть ее описание, умышленно утрирующее типичные и игнорирующее менее существенные свойства. Этот принцип может быть назван принципом абстрагирования от второстепенных деталей.

4. Соответствие между требуемой точностью результатов моделирования и сложностью модели. Модели по своей природе всегда носят приближенный характер. Возникает вопрос, каким должно быть это приближение. С одной стороны, чтобы отра­зить все сколько-нибудь существенные свойства, модель необхо­димо детализировать. С другой стороны, строить модель, при­ближающуюся по сложности к реальной системе, очевидно, не имеет смысла. Она не должна быть настолько сложной, чтобы нахождение решения оказалось слишком затруднительным. Ком­промисс между этими двумя требованиями достигается нередко путем проб и ошибок. Практическими рекомендациями по умень­шению сложности моделей являются:

• изменение числа переменных, достигаемое либо исключе­нием несущественных переменных, либо их объединением. Про­цесс преобразования модели в модель с меньшим числом пере­менных и ограничений называют агрегированием. Например, все типы ЭВМ в модели гетерогенных сетей можно объединить в че­тыре типа - ПЭВМ, рабочие станции, большие ЭВМ (мейнфрей-мы), кластерные ЭВМ;

 

• изменение природы переменных параметров. Переменные
параметры рассматриваются в качестве постоянных, дискретные -
в качестве непрерывных и т.д. Так, условия распространения ра­
диоволн в модели радиоканала для простоты можно принять
постоянными;

• изменение функциональной зависимости между переменны­
ми. Нелинейная зависимость заменяется обычно линейной, дис­
кретная функция распределения вероятностей - непрерывной;

• изменение ограничений (добавление, исключение или мо­
дификация). При снятии ограничений получается оптимистичное
решение, при введении - пессимистичное. Варьируя ограничени­
ями, можно найти возможные граничные значения эффективно­
сти. Такой прием часто используется для нахождения предвари­
тельных оценок эффективности решений на этапе постановки
задач;

• ограничение точности модели. Точность результатов мо­
дели не может быть выше точности исходных данных.

 

5. Баланс погрешностей различных видов. В соответствии с
принципом баланса необходимо добиваться, например, баланса
систематической погрешности моделирования за счет отклоне­
ния модели от оригинала и погрешности исходных данных, точ­
ности отдельных элементов модели, систематической погрешно­
сти моделирования и случайной погрешности при интерпрета­
ции и осреднении результатов.

6. Многовариантность реализаций элементов модели. Разно­
образие реализаций одного и того же элемента, отличающихся
по точности (а следовательно, и по сложности), обеспечивает ре­
гулирование соотношения «точность/сложность».

7. Блочное строение. При соблюдении принципа блочного
строения облегчается разработка сложных моделей и Появляется
возможность использования накопленного опыта и готовых бло­
ков с минимальными связями между ними. Выделение блоков
производится с учетом разделения модели по этапам и режимам
функционирования системы. К примеру, при построении модели
для системы радиоразведки можно выделить модель работы из­
лучателей, модель обнаружения излучателей, модель пеленгова­
ния и т.д.

В зависимости от конкретной ситуации возможны следующие подходы к построению моделей:

56

Глава

• непосредственный анализ функционирования системы;

• проведение ограниченного эксперимента на самой системе;

• использование аналога;

• анализ исходных данных.

Имеется целый ряд систем, которые допускают проведение непосредственных исследований по выявлению существенных параметров и отношений между ними. Затем либо применяются известные математические модели, либо они модифицируются, либо предлагается новая модель. Таким образом, например, мож­но вести разработку модели для направления связи в условиях мирного времени.

При проведении эксперимента выявляются значительная часть существенных параметров и их влияние на эффективность систе­мы. Такую цель преследуют, например, все командно-штабные игры и большинство учений.

Если метод построения модели системы не ясен, но ее струк­тура очевидна, то можно воспользоваться сходством с более про­стой системой, модель для которой существует.

К построению модели можно приступить на основе анализа исходных данных, которые уже известны или могут быть получе­ны. Анализ позволяет сформулировать гипотезу о структуре сис­темы, которая затем апробируется. Так появляются первые мо­дели нового образца иностранной техники при наличии предва­рительных данных об их технических параметрах.

Разработчики моделей находятся под действием двух взаим­но противоречивых тенденций: стремления к полноте описания и стремления к получению требуемых результатов возможно бо­лее простыми средствами. Достижение компромисса ведется обычно по пути построения серии моделей, начинающихся с пре­дельно простых и восходящих до высокой сложности (существу­ет известное правило: начинай с простых моделей, а далее услож­няй). Простые модели помогают глубже понять исследуемую про­блему. Усложненные модели используются для анализа влияния различных факторов на результаты моделирования. Такой ана­лиз позволяет исключать некоторые факторы из рассмотрения. Сложные системы требуют разработки целой иерархии моде­лей, различающихся уровнем отображаемых операций. Выделя­ют такие уровни, как вся система, подсистемы, управляющие объекты и др.

 

57

Основы системного анализа

Рассмотрим один конкретный пример - модель развития эко­номики (модель Харрода). Эта упрощенная модель развития эко­номики страны предложена английским экономистом Р. Харро-дом. В модели учитывается один определяемый фактор - капи­тальные вложения, а состояние экономики оценивается через размер национального дохода.

Для математической постановки задачи введем следующие обозначения:

• У, - национальный доход в год t;

• K_t - производственные фонды в год t;

• C_t - объем потребления в год t;

• S_t - объем накопления в год t;

• V_t - капитальные вложения в год /.

Будем предполагать, что функционирование экономики про­исходит при выполнении следующих условий:

• условие баланса доходов и расходов за каждый год

Г,= С, + 5,;

• условие исключения пролеживания капитала

S_t = V_t;

• условие пропорционального деления национального го­
дового дохода

S,= aY_t,

Два условия принимаются для характеристики внутренних экономических процессов. Первое условие характеризует связь капитальных вложений и общей суммы производственных фон­дов, второе - связь национального годового дохода и производ­ственных фондов.

Капитальные вложения в год t могут рассматриваться как прирост производственных фондов или производная от функции производственные фонды принимается как капитальные годовые вложения:

dt

Национальный доход в каждый год принимается как отдача производственных фондов с соответствующим нормативным ко­эффициентом фондоотдачи:

58

Глава 1

Основы системного анализа

59

 

 

Соединяя условия задачи, можно получить следующее соот­ношение:

Y=Z- = — = -— a adt a dt

Отсюда следует итоговое уравнение Харрода:

Ь^аТ.

dt

Его решением является экспоненциальное изменение нацио­нального дохода по годовым интервалам:

V —V o^at/^b

г, - /_Ое

Несмотря на упрощенный вид математической модели, ее ре­зультат может быть использован для укрупненного анализа на­циональной экономики. Параметры а и Ъ могут стать параметра­ми управления при выборе плановой стратегии развития в целях максимального приближения к предпочтительной траектории изменения национального дохода или для выбора минимального интервала времени достижения заданного уровня национально­го дохода.

133

Предыдущая12345678910Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: