Многоканальная СМО с отказами в обслуживании (задача Эрланга)

 

Рассмотрим одну из первых классических задача ТМО, которая была решена в начале ХХ века датским математиком Эрлангом.

Постановка задачи. Имеется - канальная система, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживания также простейший с интенсивностью обслуживания (величина, обратная среднему времени обслуживания). Найти финальные вероятности состояний СМО и некоторые характеристики.

Решение. Состояние СМО определяется, как и раньше, числом заявок в системе (здесь совпадает с числом КО).

- все каналы свободны, заявок нет;

- одна заявка обслуживается, один КО занят, остальные свободны;

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

- все каналов заняты.

Граф состояний многоканальной системы массового обслужи­вания с отказами имеет вид, показанный на рис.5.

Рис. 5 Граф состояний многоканальной СМО с отказами

 

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы P ₀ ,..., P_k,... P_n будет иметь следующий вид:

 

(1)

В предположении существования финальных вероятностей система (1) принимает следующий вид

(2)

 

Из первого уравнения (2) имеем: , из второго получаем и т.д.

, (3)

где - приведенная интенсивность потока заявок – среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания. Вероятность того, что все каналы свободны, находится из условия нормировки

(4)

Формулы для вычисления вероятностей P_n называются формулами Эрланга.

Основные характеристики СМО

· Вероятность отказа – вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ, т.е. все каналы будут заняты

; (5)

Величина характеризует полноту обслуживания входящего потока;

· Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена

; (6)

· Абсолютная пропускная способность СМО

; (7)

· Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых КО)

· Среднее время пребывания заявки в системе

. (8)

Содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем каждое обслуживание заявки приносит какой–то доход. Умножая этот доход на среднее число обслуживаемых в единицу времени заявок, получаем средний доход от СМО в единицу времени. При увеличении числа каналов растет и доход, но при этом растут и затраты, связанные с содержанием КО. Таким образом, максимизируя прибыль, можно определить оптимальное число каналов.

Пример. Рассматривается вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступаю­щих на ВЦ, имеет интенсивность = 1 задача в час. Средняя про­должительность обслуживания = 1,8 час. Поток заявок на ре­шение задач и поток обслуживания этих заявок являются простей­шими.

Требуется вычислить:

· финальные вероятности состояний ВЦ;

· вероятность отказа в обслуживании заявки;

· относительную пропускную способность ВЦ;

· абсолютную пропускную способность ВЦ;

· среднее число занятых ЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ЭВМ, чтобы уменьшить вероятность отказа в 10 раз.

Решение

1. Определим параметр потока обслуживания

2. Приведенная интенсивность потока заявок

3. Финальные вероятности состояний найдем по формулам Эр­ланга

4. Вероятность отказа в обслуживании заявки

5. Относительная пропускная способность ВЦ

6. Абсолютная пропускная способность ВЦ

7. Среднее число занятых каналов –ЭВМ

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех - остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев. Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных и можно увеличить только за счет увеличения числа ЭВМ.

Определим, сколько нужно ЭВМ, чтобы сократить число необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу:

.

Задачу решаем численным способом путем составления таблицы:

Из таблицы следует, что обеспечение требуемой вероятности достигается применением 6 компьютеров.

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: