 |
Оптимизация химико-технологических процессов методом Бокса-Уилсона
|
|
|
|
Метод Бокса–Уилсона (метод крутого восхождения). В начале 50–х годов был разработан подход к оптимизации, называемый методом Бокса–Уилсона. В планировании эксперимента градиентный метод движения к оптимуму называют крутым восхождением. Отличия от метода, описанного ранее, обусловлены ошибками опытов. По этой причине нельзя находить частные производные так, как там указано: в формулах (25.8) приращения ее должны быть малы; при малых расстояниях между точками слишком сильно скажутся ошибки опытов, и оценка направления градиента будет очень сильно отклоняться от истинного направления.
Метод крутого восхождения позволяет отыскать оптимум в два этапа:
1) шаговое крутое восхождение в район оптимума. Ставится одна или несколько серий опытов, цель которых – приблизиться к оптимуму по градиенту
функции, т.е. в направлении наискорейшего возрастания (или убывания) выходного
параметра.
2) исследование в самом районе оптимума. Ставится план 2-го порядка.
Рисунок – Поиск оптимума методом крутого восхождения
Вокруг исходной точки как центра строят факторный эксперимент 2к или
дробный факторный эксперимент. Зависимость отклика от факторов описывают
многочленом 1-й степени (в дальнейшем, обозначим критерий оптимальности, он же
отклик, буквой у) 
Тогда частные производные получат вид:
С учетом того, что за единичный шаг в направлении каждой оси xi (xi выражено в размерных, некодированных – так называемых натуральных, единицах) целесообразно принять интервал варьирования ΔXi, тогда координаты точки в которую необходимо выполнить шаг будут определяться следующим образом:
Здесь m –множитель, регулирующий длину шага: шаг должен быть не слишком мал – иначе движение будет очень медленным, но и не слишком велик, иначе можно быстро уйти в область, где направление градиента – совсем иное. Однако, в отличие от градиентного метода, корректировка направлений производится не после каждого следующего шага, а по достижению частного экстремума целевой функции (рисунок) в некоторой точке М на данном направлении, как это делают при реализации метода Гаусса—Зейделя. Т.е. движение по направлению крутого восхождения продолжается до тех пор, пока у возрастает (либо убывает, если мы ищем минимум).
|
|
|
В точке частного экстремума находят новое направление градиента, либо ставится но-
вый факторный эксперимент (план 2-го порядка), составляется математическая модель и вновь осуществляется крутое восхождение.
По-особому выглядит крутое восхождение в промышленном эксперименте.
Особенность этого случая – малое расстояние между опытными точками, обусловленное тем, что во избежание появления брака в производственных условиях нельзя сильно изменять режим. Вследствие этого влияние ошибок велико, и все коэффициенты, кроме b0, оказываются незначимыми (их значения тонут на фоне шума). В этом случае поступают так. Начинают многократно повторять факторный эксперимент. При этом шум постепенно уменьшается, так как уменьшается дисперсия среднего. В какой-то момент значение одного (наибольшего по абсолютной величине) коэффициента становится больше уровня шума. Тогда делают один шаг по
градиенту. Практически смещают центр плана вдоль соответствующей оси, вокруг
него строят новый план, и вся процедура повторяется.
26. Расчет коэффициентов полинома и проверка их значимости при использовании полного факторного эксперимента. Проверка адекватности модели.
После построения матрицы планирования приступают к проведению экспериментов. Важно отметить, что порядок опытов в матрице планирования не должен определять реальную последовательность выполнения опытов, т.е. они должны быть рандомизованы. Часто каждый опыт (каждая строка матрицы планирования) повторяется несколько раз – это делается для оценки дисперсии воспроизводимости.
|
|
|
В этом случае необходимо учесть два обстоятельства. Во-первых, число повторений
для каждой строки матрицы должно быть одинаковым (все опыты – по 2 раза, или
по 5 раз и т. п.). Во-вторых, рандомизуют все опыты, включая параллельные: если
параллельные опыты делать подряд, нарушится независимость ошибок.
Другой прием, применяемый для оценки дисперсии воспроизводимости, – постановка специальной серии параллельных опытов в центре плана, т. е. в точке с координатами (0, 0, 0,.., 0). В расчетные формулы для определения коэффициентов регрессии опыты этой серии не включаются. Если факторов достаточно много, такой прием позволяет экономить опыты по сравнению с дублированием опытов матрицы планирования. Правда, при этом не удается проверить гипотезу об однородности оценок дисперсии воспроизводимости, но зато гипотеза об адекватности проверяется более надежно; привлечение еще одной точки – центра плана – позволяет выявить неадекватность в ряде случаев, когда по точкам плана это не удается.
Можно и комбинировать оба приема: дублировать точки плана и добавить центральные точки. В любом варианте все опыты должны быть рандомизованы.
Результаты экспериментов обрабатываются и анализируются. Расчет коэффициентов регрессии проводят по формулам:
где bij – коэффициент регрессии, характеризующий взаимодействие факторов
xiu·xju.
Из формулы видно, что свободный член уравнения регрессии равен среднему
арифметическому всех значений выходного параметра. Существенной особенностью п.ф.э. является то, что по данным этих опытов можно рассчитать не только коэффициенты линейного полинома, но и коэффициенты при произведениях факторов. В планировании эксперимента их называют взаимодействиями. По опытам ПФЭ 22, кроме b0, b1 и b2, можно рассчитать b12– коэффициент при произведении x1·x2. Полный факторный эксперимент 23 позволяет рассчитать парные взаимодействия b12, b13 и b23 и тройное взаимодействие b123 – коэффициент при x1·x2·x3. Учет взаимодействий позволяет оценить ряд особенностей поведения объекта, связанных с его нелинейностью. Необходимо учесть, однако, что п.ф.э. 2n не позволяет оценить коэффициенты при членах х2, х3 и т. д. и построить полный многочлен 2-й и более высоких степеней. После вычисления коэффициентов регрессии переходят к статистическому анализу уравнения регрессии, который состоит из трех основных этапов: 1) оценка дисперсии воспроизводимости (или оценка ошибки опыта), 2) оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии и 3) оценка адекватности модели.
|
|
|
Основой суждения об ошибке опыта являются параллельные опыты, которые можно ставить либо в центре эксперимента, либо в каждой точке факторного пространства. Последнее осуществляют в том случае, когда существуют подозрения, что дисперсии выходного параметра в дублирующих опытах неоднородны. Вычисляют выборочные дисперсии для каждой группы параллельных опытов по формуле:
где м – число параллельных опытов (k=1, 2,..., т); уик – экспериментальные
значения выходного параметра; yu – среднее значение выходного параметра по результатам параллельных опытов.
Проверку однородности дисперсий можно проводить по критерию Кохрена в
случае равенства числа параллельных опытов для каждого условия опыта (для каждой строки матрицы планирования). Критерий Кохрена рассчитывают по формуле:
Если выполняется неравенство G<Gкр. (для значений степеней свободы v1=m-
1, v2=N*·m и заданного уровня значимости, N* – количество групп параллельных
опытов) выборочные дисперсии по каждой группе параллельных опытов
, однородны, то дисперсия воспроизводимости вычисляется
Неоднородные дисперсии усреднять нельзя, поэтому если условие не выполняется, то следует увеличить число параллельных опытов. Современная постановка исследований при планируемом эксперименте в общем случае предусматривает отсеивание несущественных факторов с тем, чтобы не вводить их в матрицу планирования. Следовательно, все коэффициенты регрессии должны быть значимыми. Однако статистический анализ найденного уравнения регрессии все же включает проверку значимости как линейных эффектов, так и эффектов взаимодействия, если они имеются (модель можно получить в виде линейного или неполного квадратичного полиномов). Это объясняется тем, что какой-либо коэффициент регрессии все же может оказаться незначимым вследствие несовершенства отсеивания несущественных факторов (из-за неудачного выбора интервала варьирования или по другим причинам).
|
|
|
В соответствии со свойствами ПФЭ, дисперсии всех коэффициентов регрессии
должны быть равны. Поэтому в первую очередь надо проверять значимость самых
малых bi чтобы убедиться, случайно или неслучайно (значимо) они отличаются от
нуля. Для проверки такой гипотезы пользуются критерием Стьюдента.
В процедуру проверки значимости коэффициентов регрессии входит:
а) вычисление дисперсий коэффициентов регрессии s2bi, которые при фактор-
ном планировании первого порядка для всех коэффициентов регрессии равны и минимальны, по формуле:
где N – число опытов в матрице планирования;
б) составление отношений
Здесь 
и сравнение их со значением t-критерия, которое находят по таблицам распределения Стьюдента для выбранного уровня значимости p (например, p =0,05) и числа
свободы v=N*·(m–1), то есть
Если условие выполняется, то проверяемый коэффициент регрессии значимый
и, наоборот.
Если какой-либо из коэффициентов окажется незначимым, он может быть выведен из состава уравнения без пересчета всех остальных, так как при ПФЭ оценки несмешанные (коэффициенты регрессии некоррелированы друг с другом).
Поскольку доверительные интервалы коэффициентов регрессии в случае линейной и неполной квадратичной модели равны между собой, то коэффициент регрессии можно считать значимым, если его абсолютное значение превышает величину абсолютного значения отклонения ∆bi, то есть
При этом отклонение любого коэффициента регрессии можно записать так:
В практических расчетах для проверки значимости коэффициентов bi наибо-
лее часто используют выражения указанные выше выражения.
Чтобы проверить гипотезу об адекватности математической модели используют критерий Фишера:
Остаточная дисперсия вычисляется по формуле:
где v=(N–l) – число степеней свободы; N – количество опытов; l – число связей
(для линейного полинома l=п+1, п – количество факторов).
где Fкр – критическое значение критерия Фишера для выбранного уровня значимости (p=0,05) и степеней свободы числителя v1=N–n–1 и знаменателя v2=N*(т–1),
N* – количество групп параллельных опытов.
|
|
|
При соблюдении условия считают, что полученное уравнение регрессии адекватно.
|
|
|
