 |
Составитель: В.С. Кацуба, к.ф.-м.н., доцент кафедры МФиИТ
|
|
|
|
Модуль 1. Предел и непрерывность функций одной переменной
Всего 10 занятий.
Составитель: В.С. Кацуба, к.ф.-м.н., доцент кафедры МФиИТ
Занятие 1. Определение предела числовой последовательности; сходящиеся и
расходящиеся последовательности; бесконечно малые, бесконечно большие и
ограниченные последовательности. Признаки существования пределов.
Занятие 2. Вычисление пределов последовательностей с помощью свойств
сходящихся, бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных
последовательностей.
Занятие 3. Самостоятельная работа №1 «Последовательности и их пределы».
Занятие 4. Определения предела функции в точке 
, 
и при 
.
Бесконечно малые, бесконечно большие и локально ограниченные функции.
Чтение предельного поведения функции по её графику.
Занятие 5. Теоремы о функциях, имеющих конечные пределы, о бесконечно малых, бесконечно больших и локально ограниченных функциях. Раскрытие основных неопределенностей, образованных алгебраическими функциями.
Занятие 6. Основные правила раскрытия неопределенностей. Замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей с помощью замены эквивалентных бесконечно малых.
Занятие 7. Самостоятельная работа № 2 «Пределы функций».
Занятие 8. Сравнение бесконечно малых.
Занятие 9. Исследование функций на непрерывность.
Занятие 10. Контрольная работа.
Цели работы по теме:
1) усвоить основные понятия, связанные с предельным поведением изменяющихся величин (независимых переменных, последовательностей, функций одного аргумента) – на уровнях определений и чтения по графикам;
2) отработать практические приемы вычисления пределов и раскрытия основных неопределенностей;
|
|
|
3) сформировать навыки качественного описания и графического иллюстрирования предельного поведения функций;
4) усвоить основные определения в сравнении бесконечно малых функций, непрерывности функций, точек разрыва;
5) уметь исследовать функцию на непрерывность в точке и описывать непрерывность функции по её графику.
Занятие 1. Определение предела числовой последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности; бесконечно малые, бесконечно большие, ограниченные и монотонные последовательности. Признаки существования предела последовательности
Цель занятия:
отработать основные определения, связанные с пределом числовой последовательности.
Краткие теоретические сведения
1. Определение числовой последовательности:
Числовой последовательностью 
называется отображение множества натуральных чисел 
на некоторое числовое множество 
:
.
2. Определение конечного предела последовательности:
т.е. если 
то это означает, что для достаточно больших номеров n члены последовательности 
становятся сколь угодно близкими к числу a.
3. Определение бесконечного предела последовательности:
если переобозначить 
где 
– это большое число, то последнее определение можно сформулировать так:
т.е. если 
то это означает, что для достаточно больших номеров n члены последовательности становятся по модулю сколь угодно большими.
4. Определение сходящейся и расходящейся последовательности:
называется 
5. Определение бесконечно малой, бесконечно большой, ограниченной и монотонной последовательности:
послед. называется бесконечно малой, если 
послед. называется бесконечно большой, если 
послед. называется ограниченной, если её члены образуют ограниченное множество, т.е. 
числа A и B, такие что 
при 
|
|
|
;
послед. называется монотонно возрастающей, если 
;
послед. называется монотонно убывающей, если 
.
|
|
|
